Encontre a aproximação linear local
da função especificada no ponto
dado. Compare o erro da aproximação de
por
no ponto
especificado com a distância entre
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aproximação linear local da função
no ponto
. Depois, vamos comparar o erro dessa aproximação no ponto
com a distância entre
e
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função
no ponto
. Isso é simples, só substituir
e
na função:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Passo 5
Com esses valores, podemos construir a aproximação linear
da função
no ponto
. A fórmula da aproximação linear é:
Onde
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a aproximação linear no ponto
. Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 7
Vamos agora encontrar o valor exato da função
no ponto
:
Calculando cada parte:
Multiplicando:
Passo 8
O erro da aproximação é a diferença entre o valor exato da função
e a aproximação linear
no ponto
:
Passo 9
Agora, vamos calcular a distância entre os pontos
e
usando a fórmula da distância euclidiana:
Passo 10
Finalmente, vamos comparar o erro da aproximação com a distância entre os pontos:
Vemos que o erro da aproximação linear é bem menor que a distância entre
e
.
Resposta
A aproximação linear local
da função
no ponto
é:
No ponto
, o erro da aproximação é aproximadamente
, que é significativamente menor que a distância entre
e
, que é cerca de
.
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, onde
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e
;
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.