Encontre a aproximação linear local da função especificada no ponto dado. Compare o erro da aproximação de por no ponto especificado com a distância entre e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aproximação linear local da função no ponto . Depois, vamos comparar o erro dessa aproximação no ponto com a distância entre e . Para isso, vamos usar cálculo diferencial e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto . Isso é simples, só substituir e na função:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com esses valores, podemos construir a aproximação linear da função no ponto . A fórmula da aproximação linear é:
Onde . Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a aproximação linear no ponto . Substituindo e na expressão de :

Passo 7

Vamos agora encontrar o valor exato da função no ponto :
Calculando cada parte:
Multiplicando:

Passo 8

O erro da aproximação é a diferença entre o valor exato da função e a aproximação linear no ponto :

Passo 9

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos e usando a fórmula da distância euclidiana:

Passo 10

Finalmente, vamos comparar o erro da aproximação com a distância entre os pontos:
â
Vemos que o erro da aproximação linear é bem menor que a distância entre e .

Resposta

A aproximação linear local da função no ponto é:
No ponto , o erro da aproximação é aproximadamente , que é significativamente menor que a distância entre e , que é cerca de .

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