Use a fórmula (1) deduzida no item a) acima, para calcular o gradiente de u em coordenadas polares,
da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o gradiente da função
em coordenadas polares usando uma fórmula específica que já foi deduzida anteriormente. Isso envolve entender como transformar coordenadas cartesianas para polares e aplicar a fórmula do gradiente nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações entre
,
,
e
são:
Isso significa que podemos reescrever a função
em termos de
e
.
Passo 3
Substituindo
e
na função
:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Sabemos que
, então:
Agora, a função
simplifica para
.
Passo 5
O gradiente em coordenadas polares é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 6
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Porque
não depende de
.
Resposta
Portanto, o gradiente de
em coordenadas polares é:
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ao mover um objeto de
a
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
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como uma integral iterada com
e com
.
Uma empresa de manufatura produz dois tipos de produtos: A e B. Cada unidade de produto
requer 2 horas de trabalho na máquina
e 1 hora de trabalho na máquina
, enquanto cada unidade de produto B requer 1 hora de trabalho na máquina M 1 e 3 horas de trabalho na máquina M2. A empresa tem 100 horas disponíveis na máquina M1 e 90 horas disponíveis na máquina M2 por semana. O lucro por unidade de produto
é de
e o lucro por unidade de produto
é de
. Determine a quantidade de cada produto a ser produzida por semana para maximizar o lucro total.