Use a fórmula (1) deduzida no item a) acima, para calcular o gradiente de u em coordenadas polares, nabla u=(partial upartial r, partial upartial theta) da função u(x, y)=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o gradiente da função em coordenadas polares usando uma fórmula específica que já foi deduzida anteriormente. Isso envolve entender como transformar coordenadas cartesianas para polares e aplicar a fórmula do gradiente nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações entre x = r costheta e y = r sintheta , , e são:
Isso significa que podemos reescrever a função em termos de e .

Passo 3

Substituindo u(r, theta) = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta e u(r, theta) = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) na função :
Podemos fatorar :

Passo 4

Sabemos que u(r, theta) = r^2 times 1 = r^2 , então:
Agora, a função simplifica para .

Passo 5

O gradiente em coordenadas polares é dado por:
nabla u = ( partial upartial r, partial upartial theta )
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 6

Calculando a derivada parcial de partial upartial r = partialpartial r (r^2) = 2r em relação a :

Passo 7

Agora, calculando a derivada parcial de partial upartial theta = partialpartial theta (r^2) = 0 em relação a :
Porque não depende de .

Resposta

Portanto, o gradiente de nabla u = ( 2r, ; 0 ) em coordenadas polares é:

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