Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações,
e
, e precisamos desenhar a região
que está entre essas curvas. Depois, vamos expressar a integral dupla
como duas integrais iteradas: uma na ordem
e outra na ordem
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e de como determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites da nossa região
. Igualamos as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Agora, resolvemos:
Isso nos dá:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Vamos determinar qual curva está acima ou à direita da outra na região
. Observando as equações:
- Para
: -
está à esquerda de (ou seja, ).
-
Isso significa que, para cada
entre 0 e 1,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a integral dupla
como integrais iteradas nas duas ordens solicitadas.
Ordem
:
Primeiro, determinamos os limites para
em função de
. Observando as curvas:
- Para
: -
varia de a .
-
Portanto, a integral iterada fica:
Ordem
:
Já determinamos que, para cada
entre 0 e 1,
varia de
a
. Então, a integral iterada fica:
Resposta
A integral dupla
pode ser expressa como:
e também como:
Exercícios relacionados
Use a fórmula (1) deduzida no item a) acima, para calcular o gradiente de u em coordenadas polares,
da função
.
Calcule as integrais iteradas.
Uma empresa de manufatura produz dois tipos de produtos: A e B. Cada unidade de produto
requer 2 horas de trabalho na máquina
e 1 hora de trabalho na máquina
, enquanto cada unidade de produto B requer 1 hora de trabalho na máquina M 1 e 3 horas de trabalho na máquina M2. A empresa tem 100 horas disponíveis na máquina M1 e 90 horas disponíveis na máquina M2 por semana. O lucro por unidade de produto
é de
e o lucro por unidade de produto
é de
. Determine a quantidade de cada produto a ser produzida por semana para maximizar o lucro total.
Calcule as integrais iteradas.