Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral iterada:
Aqui, estamos trabalhando com integração em coordenadas polares, onde
é a distância radial e
o ângulo. Vamos precisar integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-la da integral:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 5
Para resolver esta integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para
:
-
Quando
: -
Quando
:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Observamos que os limites de integração são iguais (
a
), o que significa que a integral é igual a zero:
Resposta
A integral iterada vale 0.
Exercícios relacionados
O sólido limitado acima pelo paraboloide
, abaixo pelo plano
e lateralmente pelos planos
, e
.
Calcule as integrais iteradas:
Calcule a integral:
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes: