Calcule as integrais iteradas:
integral0^pi integral0^1-sin (theta) r^2 cos (theta) d r d theta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral iterada:
integral0^pi integral0^1-sin (theta) r^2 cos (theta) , dr , dtheta
Aqui, estamos trabalhando com integração em coordenadas polares, onde é a distância radial e o ângulo. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a integral0^1-sin (theta) r^2 cos (theta) , dr :
cos(theta) integral0^1-sin (theta) r^2 , dr
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral r^2 , dr = r^33 + C . Sabemos que:
(1 - sin(theta))^33 - 0^33 = (1 - sin(theta))^33
Aplicando os limites de integração:
cos(theta) times (1 - sin(theta))^33 = cos(theta) (1 - sin(theta))^33
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi cos(theta) (1 - sin(theta))^33 , dtheta = 13 integral0^pi cos(theta) (1 - sin(theta))^3 , dtheta

Passo 5

Para resolver esta integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
u = 1 - sin(theta)
Então, derivando ambos os lados:
du = -cos(theta) , dtheta Rightarrow -du = cos(theta) , dtheta
Substituindo na integral:
13 integral u^3 (-du) = -13 integral u^3 , du

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para u = 1 - sin(0) = 1 - 0 = 1 :
  • Quando u = 1 - sin(pi) = 1 - 0 = 1 :
    -13 integral1^1 u^3 , du
  • Quando :
Então, a integral se torna:

Passo 7

Observamos que os limites de integração são iguais ( -13 times 0 = 0 a ), o que significa que a integral é igual a zero:

Resposta

A integral iterada vale 0.

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