Calcule as integrais iteradas:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral iterada:
Aqui, estamos trabalhando com integração em coordenadas polares, onde é a distância radial e o ângulo. Vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a :
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 5

Para resolver esta integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para :
  • Quando :
  • Quando :
Então, a integral se torna:

Passo 7

Observamos que os limites de integração são iguais ( a ), o que significa que a integral é igual a zero:

Resposta

A integral iterada vale 0.

Exercícios relacionados

O sólido limitado acima pelo paraboloide , abaixo pelo plano e lateralmente pelos planos , e .
Calcule as integrais iteradas:
Calcule a integral:
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes: