Calcule a integral:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral
. Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que combinam funções trigonométricas e potências de funções. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é muito útil quando a integral contém uma função e sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. A razão para essa escolha é que a derivada de
é
, que já aparece na nossa integral.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
, temos:
Isso nos permite substituir
por
na integral.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Observamos que
. Podemos expressar
como
. Sabemos que
, então:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, a solução da integral é:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas:
O sólido limitado acima pelo paraboloide
, abaixo pelo plano
e lateralmente pelos planos
, e
.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes:
A curva dada é girada em torno do eixo
. Calcule a área da superfície resultante: