Calcule a integral:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral . Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que combinam funções trigonométricas e potências de funções. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é muito útil quando a integral contém uma função e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . A razão para essa escolha é que a derivada de é , que já aparece na nossa integral.

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a , temos:
Isso nos permite substituir por na integral.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de . Observamos que . Podemos expressar como . Sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, a solução da integral é:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

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