Calcule a integral: integral cos ^5 xraizsin x d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral . Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que combinam funções trigonométricas e potências de funções. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é muito útil quando a integral contém uma função e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . A razão para essa escolha é que a derivada de é , que já aparece na nossa integral.

Passo 3

Calculando a derivada de du = cos x , dx em relação a , temos:
Isso nos permite substituir por na integral.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de cos^4 x = (1 - u^2)^2 . Observamos que integral cos^5 xraizsin x , dx = integral (1 - u^2)^2raizu , du . Podemos expressar como . Sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 - u^2)^2raizu = 1 - 2u^2 + u^4u^1/2 = u^-1/2 - 2u^3/2 + u^7/2
Assim, a integral fica:
integral ( u^-1/2 - 2u^3/2 + u^7/2 ) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2
integral -2u^3/2 , du = -45u^5/2
integral u^7/2 , du = 29u^9/2
Portanto, a solução da integral é:
2u^1/2 - 45u^5/2 + 29u^9/2 + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 2raizsin x - 45(sin x)^5/2 + 29(sin x)^9/2 + C de volta na expressão:

Resposta

2raizsin x - 45sin^52 x + 29sin^92 x + C

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