Calcule as integrais iteradas. integral0^pi / 2 integralo^pi / 2 sin (x) cos (y) d y d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral iterada . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas e aplicar o conceito de integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em duas variáveis, uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral iterada significa que vamos integrar em relação a uma variável e depois à outra. No nosso caso, vamos primeiro integrar em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Começamos integrando a função integral0^pi / 2 cos(y) , dy = sin(y) |0^pi / 2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1 em relação a , mantendo constante. A integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral externa em relação a integral0^pi / 2 sin(x) cdot 1 , dx = integral0^pi / 2 sin(x) , dx :

Passo 5

Vamos integrar integral0^pi / 2 sin(x) , dx = -cos(x) |0^pi / 2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1 em relação a . A integral de é . Portanto:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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