Determine o volume dos sólidos. $a) Abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o volume de um sólido. A gente vai trabalhar com cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta importante para encontrar volumes em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender as equações que delimitam a região onde vamos calcular o volume e usar a fórmula da integral dupla para encontrar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região abaixo do paraboloide e acima da região delimitada pelas curvas e . Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas:
Substituindo uma na outra, temos . Resolvendo essa equação, temos e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos (0,0) e (1,1).
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando as curvas, para entre 0 e 1, varia de até (já que implica ). Então, nossa integral dupla será:
Aqui, representa a função que define o paraboloide, e estamos integrando essa função sobre a região definida.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a :
Substituindo os limites:
Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1: