Determine o volume dos sólidos. $a) Abaixo do paraboloide Abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por e acima da região delimitada por e e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o volume de um sólido. A gente vai trabalhar com cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta importante para encontrar volumes em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender as equações que delimitam a região onde vamos calcular o volume e usar a fórmula da integral dupla para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região abaixo do paraboloide e acima da região delimitada pelas curvas e . Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas:
Substituindo uma na outra, temos . Resolvendo essa equação, temos e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando as curvas, para entre 0 e 1, varia de até (já que implica ). Então, nossa integral dupla será:
Aqui, representa a função que define o paraboloide, e estamos integrando essa função sobre a região definida.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a :
Substituindo os limites:
Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1:
Calculando cada termo:
Substituindo os limites, temos:
Calculando os valores:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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