Calcule lim x 0^+ raizx e^sin (pi / x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes quadradas e exponenciais, além de trigonometria. Para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), que nos ajuda a encontrar limites quando uma função está “presa” entre duas outras que têm limites conhecidos.

Passo 2

Primeiro, observe que -1 <= sin(pix) <= 1 sempre está entre -1 e 1, ou seja:
e^-1 <= e^sin(pix) <= e^1
Ao aplicarmos a função exponencial a esses valores, temos:
Isso significa que está sempre entre e , que são constantes.

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a desigualdade por e^-1 raizx <= raizx , e^sin(pix) <= e^1 raizx , que é uma função positiva quando limx 0^+ e^-1 raizx = 0 e limx 0^+ e^1 raizx = 0 :
Sabemos que . Portanto:
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas funções que ambas têm o mesmo limite, então o limite da função também é esse valor.

Resposta

O limite é 0.

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