Encontre o valor médio da função no intervalo dado. f(x) = cos^4(x) sen(x), [0, pi/2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor médio da função no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a fórmula do valor médio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função em um intervalo :
é
Aqui, e .

Passo 3

Substituindo os valores que temos na fórmula, ficamos com:
é
Simplificando a fração:
Então:
é

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
Para facilitar, vamos usar a substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral:
Agora, ajustamos os limites de integração para . Quando , . Quando , .
Então, a integral fica:

Passo 6

Resolvida a integral:

Passo 7

Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
é

Resposta

O valor médio da função no intervalo dado é .

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