Encontre o valor médio da função no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor médio da função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente a fórmula do valor médio de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função
em um intervalo
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Substituindo os valores que temos na fórmula, ficamos com:
Simplificando a fração:
Então:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Para facilitar, vamos usar a substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, ajustamos os limites de integração para
. Quando
,
. Quando
,
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Resolvida a integral:
Passo 7
Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função no intervalo dado é
.