Verifique se a função f é contínua em ( 0,0 ).
f(x, y) = { 1/(x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 1, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras:
  • Para qualquer ponto diferente de (0,0),
  • No ponto (0,0),
Queremos verificar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 2

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de (0,0).
Para isso, podemos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos considerar o caminho onde . Se , então a função fica:
À medida que se aproxima de 0, cresce sem limites, ou seja, tende a .

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde . Se , então a função fica:
À medida que se aproxima de 0, também cresce sem limites, tendendo a .

Passo 5

Em ambos os caminhos que consideramos ( e ), o limite da função tende a quando se aproxima de (0,0). Ou seja:

Passo 6

Agora, comparamos esse limite com o valor da função no ponto (0,0):
Como não é igual a 1, o limite da função quando se aproxima de (0,0) não é igual ao valor da função nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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