Verifique se a função
é contínua em ( 0,0 ).
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas maneiras:
- Para qualquer ponto diferente de (0,0),
- No ponto (0,0),
Queremos verificar se essa função é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:
Passo 2
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de (0,0).
Para isso, podemos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos considerar o caminho onde
. Se
, então a função fica:
À medida que
se aproxima de 0,
cresce sem limites, ou seja, tende a
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Se
, então a função fica:
À medida que
se aproxima de 0,
também cresce sem limites, tendendo a
.
Passo 5
Em ambos os caminhos que consideramos (
e
), o limite da função
tende a
quando
se aproxima de (0,0). Ou seja:
Passo 6
Agora, comparamos esse limite com o valor da função no ponto (0,0):
Como
não é igual a 1, o limite da função quando
se aproxima de (0,0) não é igual ao valor da função nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua em (0,0).