Calcule as integrais iteradas.
integral0^4 integral0^raizx x y^2 d x d y

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla . Esse tipo de cálculo está na matéria de Cálculo Integral, especificamente nas integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Aqui, varia de 0 a 4, e para cada , varia de 0 a . Isso significa que estamos integrando a função sobre uma região onde depende de .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é . Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 4

Integrando integral x y^2 , dy = x integral y^2 , dy = x ( y^33 ) = x y^33 em relação a x (raizx)^33 - x (0)^33 = x cdot x^3/23 = x^5/23 , temos:
Agora, avaliamos de a :

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^4 x^5/23 , dx = 13 integral0^4 x^5/2 , dx

Passo 6

Vamos integrar integral x^5/2 , dx = x^7/272 = 27 x^7/2 em relação a 13 cdot 27 [ x^7/2 ]0^4 = 221 (4^7/2 - 0 ) :
Então, a integral se torna:

Passo 7

Calculando 4^7/2 = (2^2)^7/2 = 2^7 = 128 :
221 cdot 128 = 25621
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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