u=raizr^2+s^2, r=y+x cos t, s=x+y sen t;
partial upartial x, partial upartial y, partial upartial t quando x=1, y=2, t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de em relação a , e quando , e . Estamos lidando com cálculo, especificamente derivadas parciais, e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função u = raizr^2 + s^2 . Ela é definida como:
r = y + x cos t e s = x + y sin t
onde:
Queremos encontrar como muda quando variamos , ou individualmente, mantendo os outros constantes. Para isso, usamos as derivadas parciais.

Passo 3

Vamos começar calculando partial upartial x = 12(r^2 + s^2)^-1/2 cdot (2r cdot partial rpartial x + 2s cdot partial spartial x) . Usamos a regra da cadeia:
partial upartial x = r cdot partial rpartial x + s cdot partial spartial xraizr^2 + s^2
Simplificando:
partial rpartial x = cos t e partial spartial x = 1
Agora, vamos encontrar partial upartial x = r cos t + sraizr^2 + s^2 e :
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial upartial y = r cdot partial rpartial y + s cdot partial spartial yraizr^2 + s^2 usando a mesma abordagem:
partial rpartial y = 1 e partial spartial y = sin t
Calculando as derivadas:
partial upartial y = r cdot 1 + s sin traizr^2 + s^2
Então:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar partial upartial t = r cdot partial rpartial t + s cdot partial spartial traizr^2 + s^2 :
partial rpartial t = -x sin t e partial spartial t = y cos t
Calculando as derivadas:
partial upartial t = r (-x sin t) + s (y cos t)raizr^2 + s^2
Então:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores r = 2 + 1 cdot cos 0 = 2 + 1 = 3 , s = 1 + 2 cdot sin 0 = 1 + 0 = 1 e nas expressões de e :
E

Passo 7

Substituindo partial upartial x = 3 cdot cos 0 + 1raiz10 = 3 cdot 1 + 1raiz10 = 4raiz10 , partial upartial y = 3 cdot 1 + 1 cdot sin 0raiz10 = 3 + 0raiz10 = 3raiz10 e partial upartial t = 3 cdot (-1 cdot sin 0) + 1 cdot 2 cos 0raiz10 = 0 + 2 cdot 1raiz10 = 2raiz10 nas derivadas:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial x = 4raiz10, partial upartial y = 3raiz10, partial upartial t = 2raiz10

Exercícios relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial:
y'' + p(t)y' + q(t)y = 0
com condições iniciais y(0) = 1, y'(0) = 0.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(a) y' + 2y = x
Calcule as integrais iteradas.
integral0^4 integral0^raizx x y^2 d x d y
Uma piscina circular tem diâmetro de 40 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e crece linearmente de 2 metros na extremidade sul para 7 metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.