;
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de
em relação a
,
e
quando
,
e
. Estamos lidando com cálculo, especificamente derivadas parciais, e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida como:
onde:
Queremos encontrar como
muda quando variamos
,
ou
individualmente, mantendo os outros constantes. Para isso, usamos as derivadas parciais.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Usamos a regra da cadeia:
Simplificando:
Agora, vamos encontrar
e
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando a mesma abordagem:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar
:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões de
e
:
E
Passo 7
Substituindo
,
e
nas derivadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Encontre a solução do problema de valor inicial:
com condições iniciais
,
.
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(a)
(a)
Calcule as integrais iteradas.
Uma piscina circular tem diâmetro de 40 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e crece linearmente de 2 metros na extremidade sul para 7 metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.