Encontre a solução do problema de valor inicial:
com condições iniciais
,
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem do tipo:
com as condições iniciais
e
. Para resolver esse tipo de equação, precisamos conhecer o conteúdo da matéria sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar métodos específicos dependendo das funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
e
são constantes ou funções de
. Se forem constantes, a equação é chamada de equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Isso simplifica bastante a resolução.
Passo 3
Assumindo que
e
são constantes, podemos resolver a equação usando a equação característica. A equação característica associada é:
Resolvemos essa equação quadrática para encontrar as raízes
e
.
Passo 4
Dependendo das raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial muda:
- Raízes Reais e Distintas (
): - Raízes Reais e Iguais (
): - Raízes Complexas (
):
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
:
- Primeira condição (
):
Substituímosna solução geral para obter uma equação envolvendo e . - Segunda condição (
):
Derivamos a solução geral em relação ae substituímos para obter outra equação envolvendo e .
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de
e
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
onde as constantes
e
são determinadas pelas condições iniciais
e
.
Exercícios relacionados
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(a)
(a)
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções
a seguir:
.
Calcule as integrais iteradas.