Encontre a solução do problema de valor inicial:
y'' + p(t)y' + q(t)y = 0
com condições iniciais y(0) = 1, y'(0) = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem do tipo:
com as condições iniciais y(0) = 1 e . Para resolver esse tipo de equação, precisamos conhecer o conteúdo da matéria sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar métodos específicos dependendo das funções p(t) e q(t).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se p(t) e q(t) são constantes ou funções de t. Se forem constantes, a equação é chamada de equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Isso simplifica bastante a resolução.

Passo 3

Assumindo que e são constantes, podemos resolver a equação usando a equação característica. A equação característica associada é:
Resolvemos essa equação quadrática para encontrar as raízes e .

Passo 4

Dependendo das raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial muda:
  1. Raízes Reais e Distintas ( ):
  2. Raízes Reais e Iguais ( ):
  3. Raízes Complexas ( ):
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e :
  1. Primeira condição ( y(0) = 1):
    Substituímos na solução geral para obter uma equação envolvendo e .
  2. Segunda condição ( ):
    Derivamos a solução geral em relação a t e substituímos para obter outra equação envolvendo e .
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
onde as constantes e são determinadas pelas condições iniciais y(0) = 1 e .

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