Uma piscina circular tem diâmetro de 40 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e crece linearmente de 2 metros na extremidade sul para 7 metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma piscina circular com diâmetro de 40 metros. A profundidade da piscina é constante de leste para oeste, mas muda de forma linear de 2 metros na parte sul para 7 metros na parte norte. Nosso objetivo aqui é encontrar o volume de água dessa piscina. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo, especificamente integrais duplas para calcular volumes de objetos com profundidades variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões da piscina. O diâmetro é de 40 metros, então o raio
é metade disso:
Passo 3
Agora, precisamos modelar como a profundidade varia do sul para o norte. Como a profundidade aumenta linearmente de 2 metros a 7 metros ao longo de 40 metros (o diâmetro), podemos expressar a profundidade
em função da posição
ao longo do norte-sul:
Aqui,
varia de -20 metros (sul) a +20 metros (norte).
Passo 4
Para calcular o volume, vamos integrar a profundidade sobre a área da piscina. É mais fácil fazer isso em coordenadas polares, já que a piscina é circular. Em coordenadas polares, um ponto é definido por
, onde
é a distância do centro e
é o ângulo.
A profundidade em termos de
e
permanece apenas uma função de
, que em coordenadas polares é
. Então, a profundidade fica:
Passo 5
O volume
é a integral da profundidade sobre toda a área da piscina. Em coordenadas polares, o elemento de área é
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a
):
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Como
, o segundo termo se anula:
Resposta
O volume de água da piscina é de
metros cúbicos, aproximadamente
m³.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas.
Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(e) .
(e)
Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(a)
(a)