Uma piscina circular tem diâmetro de 40 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e crece linearmente de 2 metros na extremidade sul para 7 metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma piscina circular com diâmetro de 40 metros. A profundidade da piscina é constante de leste para oeste, mas muda de forma linear de 2 metros na parte sul para 7 metros na parte norte. Nosso objetivo aqui é encontrar o volume de água dessa piscina. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo, especificamente integrais duplas para calcular volumes de objetos com profundidades variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões da piscina. O diâmetro é de 40 metros, então o raio é metade disso:

Passo 3

Agora, precisamos modelar como a profundidade varia do sul para o norte. Como a profundidade aumenta linearmente de 2 metros a 7 metros ao longo de 40 metros (o diâmetro), podemos expressar a profundidade em função da posição ao longo do norte-sul:
Aqui, varia de -20 metros (sul) a +20 metros (norte).

Passo 4

Para calcular o volume, vamos integrar a profundidade sobre a área da piscina. É mais fácil fazer isso em coordenadas polares, já que a piscina é circular. Em coordenadas polares, um ponto é definido por , onde é a distância do centro e é o ângulo.
A profundidade em termos de e permanece apenas uma função de , que em coordenadas polares é . Então, a profundidade fica:

Passo 5

O volume é a integral da profundidade sobre toda a área da piscina. Em coordenadas polares, o elemento de área é . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro (em relação a ):

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :
Como , o segundo termo se anula:
ú

Resposta

O volume de água da piscina é de metros cúbicos, aproximadamente m³.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais iteradas.
integral0^4 integral0^raizx x y^2 d x d y
u=raizr^2+s^2, r=y+x cos t, s=x+y sen t;
partial upartial x, partial upartial y, partial upartial t quando x=1, y=2, t=0
Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(e) 2x - y = 1.
Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(a) 2 x + y^2 + 2 x y y' = 0