Calcule as integrais iteradas.
  1. integral0^1 integral0^x^3(x+2 y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla, que é basicamente integrar uma função de duas variáveis. No caso, a função que vamos integrar é , e os limites de integração são de até para a primeira integral, e de até para a segunda. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que temos:
integral0^1 integral0^x^3 (x + 2y) , dy , dx
Aqui, a ideia é integrar a função em relação a primeiro, mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral0^x^3 (x + 2y) , dy em relação a xy + y^2 |0^x^3 :
x(x^3) + (x^3)^2 - [x(0) + (0)^2] = x^4 + x^6
Isso significa que vamos tratar como uma constante. A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então, temos:
Agora, substituímos os limites de integração:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral0^1 (x^4 + x^6) , dx em relação a x^55 + x^77 |0^1 de 0 a 1:
( 1^55 + 1^77 ) - ( 0^55 + 0^77 ) = 15 + 17 = 7 + 535 = 1235
A integral de em relação a é , e a integral de é . Então, temos:
Substituindo os limites de integração:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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