Calcule os limites abaixo

Passo 1

Vamos calcular o limite abaixo:
Esse exercício envolve o conceito de limites, especificamente manipulando expressões com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, provavelmente usando a técnica de racionalização para lidar com as raízes no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o problema principal: ao substituir diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, ou seja, temos uma forma indeterminada . Isso nos indica que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar simplificando o numerador. Para isso, usamos a racionalização, que envolve multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de é . Então, multiplicamos o numerador e o denominador por essa conjugada:

Passo 4

No numerador, usando a identidade , temos:
Então, o numerador simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
Podemos fatorar para , então a expressão fica:

Passo 6

Observamos que ainda temos uma indeterminação quando . Para resolver isso, vamos focar no denominador e racionalizá-lo. Multiplicamos e dividimos por sua conjugada :

Passo 7

No denominador, aplicamos a identidade :
Assim, o denominador simplifica para , e a expressão fica:

Passo 8

Agora, podemos cancelar o termo no numerador e no denominador:

Passo 9

Com a expressão simplificada, podemos agora substituir :
Primeiro, calculamos .
No denominador:

Resposta

Substituindo, temos:
Portanto, o limite é 2.

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