Calcule os limites abaixo
lim x 2 raizx^2+x-2-raizx^2-x+2raizx+2-2

Passo 1

Vamos calcular o limite abaixo:
lim x 2 raizx^2+x-2-raizx^2-x+2raizx+2-2
Esse exercício envolve o conceito de limites, especificamente manipulando expressões com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, provavelmente usando a técnica de racionalização para lidar com as raízes no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o problema principal: ao substituir diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, ou seja, temos uma forma indeterminada . Isso nos indica que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar simplificando o numerador. Para isso, usamos a racionalização, que envolve multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de raizx^2+x-2-raizx^2-x+2raizx+2-2 times raizx^2+x-2+raizx^2-x+2raizx^2+x-2+raizx^2-x+2 é . Então, multiplicamos o numerador e o denominador por essa conjugada:

Passo 4

No numerador, usando a identidade (raizx^2+x-2)^2 - (raizx^2-x+2)^2 = (x^2+x-2) - (x^2-x+2) = x^2+x-2 -x^2+x-2 = 2x - 4 , temos:
Então, o numerador simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
2x - 4(raizx+2-2)(raizx^2+x-2+raizx^2-x+2)
Podemos fatorar 2(x - 2)(raizx+2-2)(raizx^2+x-2+raizx^2-x+2) para , então a expressão fica:

Passo 6

Observamos que ainda temos uma indeterminação 2(x - 2)(raizx+2-2)(raizx^2+x-2+raizx^2-x+2) times raizx+2 + 2raizx+2 + 2 quando . Para resolver isso, vamos focar no denominador e racionalizá-lo. Multiplicamos e dividimos por sua conjugada :

Passo 7

No denominador, aplicamos a identidade (raizx+2)^2 - (2)^2 = x + 2 - 4 = x - 2 :
2(x - 2)(raizx+2 + 2)(x - 2)(raizx^2+x-2+raizx^2-x+2)
Assim, o denominador simplifica para , e a expressão fica:

Passo 8

Agora, podemos cancelar o termo 2(raizx+2 + 2)raizx^2+x-2+raizx^2-x+2 no numerador e no denominador:

Passo 9

Com a expressão simplificada, podemos agora substituir raiz2^2 + 2 - 2 + raiz2^2 - 2 + 2 = raiz4 + 2 - 2 + raiz4 - 2 + 2 = raiz4 + raiz4 = 2 + 2 = 4 :
Primeiro, calculamos .
No denominador:

Resposta

Substituindo, temos:
2 times 44 = 84 = 2
Portanto, o limite é 2.

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