Calcule os limites abaixo
Passo 1
Vamos calcular o limite abaixo:
Esse exercício envolve o conceito de limites, especificamente manipulando expressões com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, provavelmente usando a técnica de racionalização para lidar com as raízes no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o problema principal: ao substituir
diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador resultam em 0, ou seja, temos uma forma indeterminada
. Isso nos indica que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos começar simplificando o numerador. Para isso, usamos a racionalização, que envolve multiplicar e dividir pela conjugada da expressão. A conjugada de
é
. Então, multiplicamos o numerador e o denominador por essa conjugada:
Passo 4
No numerador, usando a identidade
, temos:
Então, o numerador simplifica para
.
Passo 5
Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
Podemos fatorar
para
, então a expressão fica:
Passo 6
Observamos que ainda temos uma indeterminação
quando
. Para resolver isso, vamos focar no denominador
e racionalizá-lo. Multiplicamos e dividimos por sua conjugada
:
Passo 7
No denominador, aplicamos a identidade
:
Assim, o denominador simplifica para
, e a expressão fica:
Passo 8
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e no denominador:
Passo 9
Com a expressão simplificada, podemos agora substituir
:
Primeiro, calculamos
.
No denominador:
Resposta
Substituindo, temos:
Portanto, o limite é 2.
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