Calcule os limites abaixo
lim x -3 / 2 6 x^2+11 x+32 x^2-5 x-12

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e verificar se podemos simplificar a expressão antes de substituir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 6(-32)^2 + 11(-32) + 3 = 6(94) - 332 + 3 = 544 - 664 + 124 = 04 = 0 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente.
Substituindo no numerador:
2(-32)^2 - 5(-32) - 12 = 2(94) + 152 - 12 = 184 + 304 - 484 = 0
Substituindo no denominador:
Obtemos uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Primeiro, fatorando o numerador 6x^2 + 11x + 3 = 6x^2 + 9x + 2x + 3 = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) = (3x + 1)(2x + 3) :
Procuramos dois números que multiplicados dão 2x^2 - 5x - 12 = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x(x - 4) + 3(x - 4) = (2x + 3)(x - 4) e somados dão 11. Esses números são 9 e 2.
Então:
Agora, fatorando o denominador :
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão -5. Esses números são -8 e 3.
Então:

Passo 4

Agora que fatoramos, podemos reescrever a fração:
6x^2 + 11x + 32x^2 - 5x - 12 = (3x + 1)(2x + 3)(2x + 3)(x - 4)
Observamos que o fator (3x + 1)cancel(2x + 3)cancel(2x + 3)(x - 4) = 3x + 1x - 4 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo 3(-32) + 1-32 - 4 = -92 + 1-112 = -72-112 = 711 na expressão simplificada:

Resposta

lim x -32 6x^2 + 11x + 32x^2 - 5x - 12 = 711

Exercícios relacionados