Nos probıemas 11-30, resolva equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para resolver a equação diferencial
usando uma substituição apropriada. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais e substituições para simplificar e resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação tem um termo exponencial com
. Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição que envolva
. Vamos definir:
Com isso, podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
. Diferenciando
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
A equação original fica então:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, podemos dividir ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 6
Reorganizando a equação para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial em termos de
e
. Podemos reescrever essa equação como:
Isso sugere que a equação é de tipo separável, onde podemos separar as variáveis
e
.
Passo 8
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 9
A integral no lado direito é simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
A integral no lado esquerdo é mais complexa e pode não ter uma solução elementar simples. Para fins de resolução, podemos expressá-la em termos de funções conhecidas ou manter a solução em forma implícita:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por essa relação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada implicitamente por
onde
e
é a constante de integração.
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