Nos probıemas 11-30, resolva equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Apucarana
Prof. Dr. Cosmo D. Santiago - cosmo@utfpr.edu.br
Curso de Engenharia
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para resolver a equação diferencial usando uma substituição apropriada. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais e substituições para simplificar e resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação tem um termo exponencial com z = xy . Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição que envolva y = xz . Vamos definir:
Com isso, podemos expressar em termos de e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dydx = ddx( xz ) = z cdot 1 - x cdot dzdxz^2 = z - x dzdxz^2 em termos de e . Diferenciando em relação a :

Passo 4

Substituímos y dydx = xz cdot z - x dzdxz^2 = x(z - x dzdx)z^3 = xz - x^2 dzdxz^3 e xz - x^2 dzdxz^3 = x + 4y e^-2z na equação original:
xz - x^2 dzdxz^3 = x + 4 cdot xz e^-2z
A equação original fica então:
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por xz - x^2 dzdx = x z^3 + 4x z^2 e^-2z para eliminar os denominadores:
z - x dzdx = z^3 + 4 z^2 e^-2z
Agora, podemos dividir ambos os lados por (assumindo ):

Passo 6

Reorganizando a equação para isolar -x dzdx = z^3 + 4 z^2 e^-2z - z :
x dzdx = -z^3 - 4 z^2 e^-2z + z
Multiplicando ambos os lados por dzdx = -z^3 - 4 z^2 e^-2z + zx :
Ou seja:

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial em termos de dzdx = z(1 - z^2 - 4 z e^-2z)x e . Podemos reescrever essa equação como:
Isso sugere que a equação é de tipo separável, onde podemos separar as variáveis e .

Passo 8

Vamos separar as variáveis:
dzz(1 - z^2 - 4 z e^-2z) = dxx
Agora, integramos ambos os lados:
integral dzz(1 - z^2 - 4 z e^-2z) = integral dxx

Passo 9

A integral no lado direito é simples:
integral dxx = ln|x| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

A integral no lado esquerdo é mais complexa e pode não ter uma solução elementar simples. Para fins de resolução, podemos expressá-la em termos de funções conhecidas ou manter a solução em forma implícita:
integral dzz(1 - z^2 - 4 z e^-2z) = ln|x| + C
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por essa relação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial integral dzz(1 - z^2 - 4 z e^-2z) = ln|x| + C é dada implicitamente por
onde e é a constante de integração.

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