Nos probıemas 11-30, resolva equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Apucarana
Prof. Dr. Cosmo D. Santiago - cosmo@utfpr.edu.br
Curso de Engenharia

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para resolver a equação diferencial usando uma substituição apropriada. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais e substituições para simplificar e resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação tem um termo exponencial com . Isso sugere que uma boa estratégia é fazer uma substituição que envolva . Vamos definir:
Com isso, podemos expressar em termos de e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de e . Diferenciando em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação original:
A equação original fica então:
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a equação multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, podemos dividir ambos os lados por (assumindo ):

Passo 6

Reorganizando a equação para isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Ou seja:

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial em termos de e . Podemos reescrever essa equação como:
Isso sugere que a equação é de tipo separável, onde podemos separar as variáveis e .

Passo 8

Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 9

A integral no lado direito é simples:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

A integral no lado esquerdo é mais complexa e pode não ter uma solução elementar simples. Para fins de resolução, podemos expressá-la em termos de funções conhecidas ou manter a solução em forma implícita:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por essa relação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
onde e é a constante de integração.

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