Encontre os limites abaixo
lim x 0 tan 2 x3 x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício está relacionado com o estudo de limites em Cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver este limite, vamos precisar entender como a função tangente se comporta perto de zero e aplicar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, sabemos que quando tende a zero, pode ser aproximado por . Ou seja, . Vamos utilizar essa propriedade para simplificar a nossa expressão.

Passo 3

No nosso limite, temos lim x 0 tan 2x3x = 23 cdot lim x 0 tan 2x2x no numerador. Podemos reescrever o limite da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja 23 cdot lim u 0 tan uu . Quando tende a zero, também tende a zero. Assim, podemos reescrever o limite como:

Passo 5

Sabemos que . Essa é uma propriedade fundamental dos limites envolvendo a função tangente.

Passo 6

Substituindo essa informação no nosso limite, temos:
23 cdot 1 = 23

Resposta

O limite é .

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