Determinar o plano tangente e a reta normal á superficie em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação da superfície. Ela está na forma implícita . Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular o gradiente de , que nos dá um vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 3
Calculando o gradiente de , temos:
No ponto , substituímos os valores:
Esse vetor é normal à superfície no ponto .
Passo 4
Agora, para encontrar o plano tangente, usamos a equação geral do plano:
onde é o vetor normal e é o ponto dado. Substituindo os valores:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para tirar os denominadores:
Passo 5
Para a reta normal, usamos o vetor normal como direção e o ponto como ponto de passagem. As equações paramétricas da reta ficam:
onde é o parâmetro.
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
A reta normal à superfície no ponto possui as equações paramétricas: