Calcule as integrais iteradas
integral0^2 integral0^1 y sen x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a integral0^2 integral0^1 y , sen x , dy , dx e depois em relação a . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é de integral0^1 y , sen x , dy até sen x integral0^1 y , dy :
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-la da integral:
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 3

Integrando integral y , dy = y^22 em relação a 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12 :
sen x cdot 12 = sen x2
Aplicando os limites de 0 a 1:
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, vamos substituir de volta na integral externa:
Podemos simplificar retirando a constante integral0^2 sen x2 , dx :
Agora, vamos integrar em relação a 12 integral0^2 sen x , dx .

Passo 5

A integral de em relação a integral sen x , dx = -cos x é:
Aplicando os limites de 0 a 2:
-cos(2) - (-cos(0)) = -cos(2) + cos(0)
Sabemos que -cos(2) + 1 , então:

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo 12 (1 - cos(2)) que havíamos tirado antes:
Esse é o valor final da nossa integral dupla.

Resposta

A integral é igual a .

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Com base nelas, calcule:
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