Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(d) sumn=1^infty (-1)^n(n+1)!2.4 6 cdots cdot(2 n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries numéricas, especificamente sobre convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série: . O indica que a série é alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador (-1)^n(n+1)!2^n cdot n! = (-1)^n(n+1)2^n . Isso é igual a , porque cada termo é múltiplo de 2 e temos termos. Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n(n+1)2^n | = sumn=1^infty n+12^n
Essa é uma série que se parece com uma série geométrica modificada. Sabemos que a série converge, porque a razão é menor que 1. Portanto, a soma também converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. E, claro, se uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é a classificação mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
(d) senh xcosh x
Calcule as integrais iteradas
integral0^2 integral0^1 y sen x d y d x
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(i) sumn=1^infty n e^2 nn^2 e^n-1
Calcule as integrais iteradas
integral3^4 integral1^2 1(x+y)^2 d y d x