Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries numéricas, especificamente sobre convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série: . O indica que a série é alternada, ou seja, os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador . Isso é igual a , porque cada termo é múltiplo de 2 e temos termos. Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa analisar a série dos valores absolutos:
Essa é uma série que se parece com uma série geométrica modificada. Sabemos que a série converge, porque a razão é menor que 1. Portanto, a soma também converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. E, claro, se uma série converge absolutamente, ela também converge condicionalmente, mas a convergência absoluta é a classificação mais forte.