Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(h)
Passo 1
Ok, vamos analisar a série . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, especificamente as séries alternadas. Precisamos verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série. Observe que pode ser simplificado para .
Passo 3
Agora, a série fica assim:
Podemos separar essa série em duas séries:
Passo 4
Vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa é a soma de duas séries p, onde e . Sabemos que uma série p converge se . Então, converge, mas não converge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos não converge, a série original não é absolutamente convergente. Vamos agora verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 6
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar se:
Os termos são decrescentes.
.
Temos , que claramente é decrescente para e o limite quando tende ao infinito é 0.
Passo 7
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, a série é condicionalmente convergente.