Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^n 2^n(2 n-5)^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série que você me enviou:
sumn=1^infty (-1)^n-1 n^n 2^n(2n -5)^n
O objetivo aqui é verificar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
  • Convergência Absoluta: Se a série dos valores absolutos converge, ou seja,
sumn=1^infty | (-1)^n-1 n^n 2^n(2n -5)^n |
então a série original é absolutamente convergente.
  • Convergência Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então é condicionalmente convergente.
  • Divergente: Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, a série é divergente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Calculamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty n^n 2^n(2n -5)^n
Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Divergência, que nos diz que se o limite dos termos gerais não tende a zero, a série diverge.

Passo 4

Calculamos o limite dos termos gerais da série dos valores absolutos:
limn to infty n^n 2^n(2n -5)^n
Podemos simplificar essa expressão observando que para grandes valores de n^n 2^n(2n -5)^n approx n^n 2^n(2n)^n = n^n 2^n2^n n^n = 1 , limn to infty n^n 2^n(2n -5)^n = 1 é aproximadamente . Então:
Portanto,

Passo 5

Como o limite dos termos gerais é 1, que é diferente de zero, pelo Teste da Divergência, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 6

Agora, vamos verificar a convergência da série original, que é alternada devido ao termo limn to infty n^n 2^n(2n -5)^n = 1 neq 0 . Para séries alternadas, usamos o Teste da Convergência Alternada, que requer que o limite dos termos gerais tende a zero e que os termos decresçam em valor absoluto.
No nosso caso, já vimos que:
Portanto, a série não satisfaz as condições para o teste da convergência alternada.

Resposta

A série é divergente.

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(h) sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2+1n^3
Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), definida pela recorrência u(n+1) = u(n) + u(n-1), onde u1 = u2 = 1.
(a) Determine os dez primeiros termos desta sequência.
Calcule as integrais iteradas
integral0^2 integral0^1 y sen x d y d x
ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
(d) senh xcosh x