Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(k)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série que você me enviou:
O objetivo aqui é verificar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Convergência Absoluta: Se a série dos valores absolutos converge, ou seja,
então a série original é absolutamente convergente.
Convergência Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então é condicionalmente convergente.
Divergente: Se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, a série é divergente.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Calculamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty n^n 2^n(2n -5)^n
Para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Divergência, que nos diz que se o limite dos termos gerais não tende a zero, a série diverge.
Passo 4
Calculamos o limite dos termos gerais da série dos valores absolutos:
limn to infty n^n 2^n(2n -5)^n
Podemos simplificar essa expressão observando que para grandes valores de n^n 2^n(2n -5)^n approx n^n 2^n(2n)^n = n^n 2^n2^n n^n = 1 , limn to infty n^n 2^n(2n -5)^n = 1 é aproximadamente . Então:
Portanto,
Passo 5
Como o limite dos termos gerais é 1, que é diferente de zero, pelo Teste da Divergência, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 6
Agora, vamos verificar a convergência da série original, que é alternada devido ao termo limn to infty n^n 2^n(2n -5)^n = 1 neq 0 . Para séries alternadas, usamos o Teste da Convergência Alternada, que requer que o limite dos termos gerais tende a zero e que os termos decresçam em valor absoluto.
No nosso caso, já vimos que:
Portanto, a série não satisfaz as condições para o teste da convergência alternada.