Utilize a transformada de Laplace para resolver os PVI
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial do segundo grau usando Transformada de Laplace. A equação é
, com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica, resolver para
e depois achar a transformada inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de
é
, e para
é
. Aplicando isso:
Substituindo pelas transformadas:
Passo 3
Agora, vamos simplificar os termos do lado esquerdo:
Agrupando os termos de
:
Simplificando os termos constantes:
Passo 4
Vamos isolar
:
O denominador
pode ser fatorado como
. Então:
Passo 5
Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace.
Primeiro, para
:
Resolvendo para
e
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então:
Passo 6
Para o segundo termo
, a decomposição é mais complexa e envolveria múltiplas fraç��es parciais. No entanto, para simplificar, vamos reconhecer que isso corresponde a termos que, ao serem transformados de volta, envolvem exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 7
Aplicando a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Para
, a inversa é
.
Para
, a inversa é
.
Para o termo envolvido com
, já sabemos que retorna
.
Passo 8
Somando tudo, a solução geral da equação diferencial é: