Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de integrais iteradas. O enunciado pede para calcular a integral dupla
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar em duas variáveis e seguir os limites de integração dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral iterada. Nesse caso, temos uma integral dupla onde integramos primeiro com respeito a
e depois com respeito a
. A ordem da integração é importante e está definida pelos limites: para cada
entre 1 e 2,
varia de
até
. Então, nosso plano é:
- Integrar
em relação a , mantendo constante. - Depois, integrar o resultado com respeito a
de 1 a 2.
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante. A integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante. No nosso caso,
, então:
Onde
�� a constante de integração, que não precisamos considerar nas integrais definidas.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de
que vão de
até
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa expressão com respeito a
de 1 a 2:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição:
Deixe
, então
, ou seja,
.
Quando
,
; quando
,
.
Então:
Resposta
Juntando tudo:
Portanto, o valor da integral dupla é:
Exercícios relacionados
calcule a expressão de
dos casos a seguir:
1a)
1a)
Calcule as integrais iteradas.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Suponha que
representa a densidade linear num ponto
de um arame fino com o formato de uma curva
.
valor da massa
do arame é dado por
Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência
. Se a densidade linear por uma constante
, determine a massa e o centro de massa do arame.