lim h 0 f(x+h)-f(x)h
calcule a expressão de f^prime(x) dos casos a seguir:
1a) f(x)=x^3-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de f^prime(x) = lim h 0 f(x+h)-f(x)h usando o limite da definição de derivada. Aqui, vamos trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente com o conceito de derivada. Para isso, precisamos aplicar a fórmula do limite:
Vamos seguir passo a passo para descobrir .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(x + h) = (x + h)^3 - (x + h) . Substituindo (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 por f(x + h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h na função :
Vamos expandir :
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos subtrair f(x + h) - f(x) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x - h) - (x^3 - x) de f(x + h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - h :
Simplificando os termos:

Passo 4

Em seguida, vamos dividir tudo isso por f(x + h) - f(x)h = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - hh :
f(x + h) - f(x)h = 3x^2 + 3xh + h^2 - 1
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando f^prime(x) = lim h 0 (3x^2 + 3xh + h^2 - 1) tende a 0:
f^prime(x) = 3x^2 + 0 + 0 - 1 = 3x^2 - 1
Substituindo :

Resposta

A derivada de f^prime(x) = 3x^2 - 1 é:

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