Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos calcular uma integral iterada aqui:
. Isso envolve entender integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
. Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos mantê-la fora da integral.
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada de
em relação a
. A integral de
é
. Então, a antiderivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a
de 1 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
As antiderivadas são:
Passo 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 1 a 2:
Calculando cada parte:
Para
:
Convertendo para denominadores iguais:
Então:
Para
:
Convertendo para denominadores iguais (120):
Resposta
Subtraindo os resultados:
Então, a integral iterada vale
.
Exercícios relacionados
Uma empresa de manufatura produz dois tipos de produtos: A e B. Cada unidade de produto
requer 2 horas de trabalho na máquina
e 1 hora de trabalho na máquina
, enquanto cada unidade de produto B requer 1 hora de trabalho na máquina M 1 e 3 horas de trabalho na máquina M2. A empresa tem 100 horas disponíveis na máquina M1 e 90 horas disponíveis na máquina M2 por semana. O lucro por unidade de produto
é de
e o lucro por unidade de produto
é de
. Determine a quantidade de cada produto a ser produzida por semana para maximizar o lucro total.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
calcule a expressão de
dos casos a seguir:
1a)
1a)
Calcule as integrais iteradas.