Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar a região
delimitada pelas curvas
,
e
. Depois, com uma função contínua qualquer
, a gente tem que escrever a integral dupla sobre essa região como uma integral iterada nas duas ordens possíveis: primeiro
e depois
. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais duplas e como elas se transformam em integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. As curvas dadas são:
-
— uma curva cúbica que passa pela origem. -
— uma linha vertical. -
— o eixo .
Quando
, substituindo na primeira equação,
. Então, a região
está entre
e
, debaixo da curva
e acima do eixo
.
Passo 3
Agora que temos a região
desenhada, vamos pensar em como configurar a integral dupla. Uma integral dupla
pode ser escrita como uma integral iterada em duas ordens:
ou
.
Para isso, precisamos determinar os limites de integração para cada ordem.
Passo 4
Primeiro, vamos configurar a integral como
. Isso significa que para cada valor de
,
varia de um limite inferior a um limite superior.
- Para
: vai de a (já que é o limite direito). - Para
: para cada , varia de (o eixo ) até .
Então, a integral iterada fica:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral como
. Desta vez, para cada valor de
,
varia de um limite inferior a um limite superior.
Primeiro, precisamos encontrar os limites de
. A curva
varia de
quando
até
quando
.
Para cada
, queremos expressar
em termos de
. A equação
dá
.
Então:
- Para
: vai de a . - Para
: para cada , varia de até .
Assim, a integral iterada fica:
Resposta
A integral dupla sobre a região
pode ser expressa como:
e também como:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas.
calcule a expressão de
dos casos a seguir:
1a)
1a)
Suponha que
representa a densidade linear num ponto
de um arame fino com o formato de uma curva
.
valor da massa
do arame é dado por
Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência
. Se a densidade linear por uma constante
, determine a massa e o centro de massa do arame.
Expresse a integral dupla sobre a região
indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
; na região triangular de vértices
.