Uma empresa de manufatura produz dois tipos de produtos: A e B. Cada unidade de produto A requer 2 horas de trabalho na máquina M 1 e 1 hora de trabalho na máquina M 2, enquanto cada unidade de produto B requer 1 hora de trabalho na máquina M 1 e 3 horas de trabalho na máquina M2. A empresa tem 100 horas disponíveis na máquina M1 e 90 horas disponíveis na máquina M2 por semana. O lucro por unidade de produto A é de \$ e o lucro por unidade de produto e o lucro por unidade de produto é de é de. Determine a quantidade de cada produto a ser produzida por semana para maximizar o lucro total.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma empresa que fabrica dois produtos, o A e o B. Cada produto usa duas máquinas diferentes, M1 e M2, com tempos de produção específicos. Queremos descobrir quantos de cada produto a empresa deve produzir por semana para ganhar o máximo de dinheiro. Para isso, vamos usar Matemática, mais especificamente Programação Linear, que ajuda a otimizar (maximizar ou minimizar) algo, no nosso caso, o lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
  • Seja o número de unidades do produto A a serem produzidas por semana.
  • Seja o número de unidades do produto B a serem produzidas por semana.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as restrições baseadas no tempo disponível das máquinas:
  1. Máquina M1:
    • Cada A usa 2 horas.
    • Cada B usa 1 hora.
    • Total disponível: 100 horas.
    Então, a restrição fica:
  2. Máquina M2:
    • Cada A usa 1 hora.
    • Cada B usa 3 horas.
    • Total disponível: 90 horas.
    Então, a restrição fica:
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de produtos:

Passo 4

Agora, vamos definir a função que queremos maximizar, que é o lucro total. Sabemos que:
  • Cada A gera $10 de lucro.
  • Cada B gera $15 de lucro.
Portanto, a função lucro é:

Passo 5

Vamos visualizar essas restrições em um gráfico para encontrar a região viável onde todas as condições são satisfeitas.
  1. Para :
    • Se , então .
    • Se , então .
  2. Para :
    • Se , então .
    • Se , então .
Além disso, consideramos e .

Passo 6

As interseções dessas restrições (os pontos onde as linhas se cruzam) são chamadas de vértices da região viável. Vamos encontrar esses pontos:
  1. Interseção das duas restrições:
    Podemos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, isolamos :
    Substituímos na segunda equação:
    Substituindo na equação :
    Então, a interseção é .
  2. Vértices da região viável:

Passo 7

Vamos calcular o lucro em cada um desses vértices usando a função :
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :
  4. Em :

Passo 8

Comparando os lucros:
  • : $0
  • : $450
  • : $660
  • : $500
O máximo lucro é $660, alcançado no ponto .

Resposta

Para maximizar o lucro total, a empresa deve produzir 42 unidades do produto A e 16 unidades do produto B por semana.

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