Uma empresa de manufatura produz dois tipos de produtos: A e B. Cada unidade de produto
requer 2 horas de trabalho na máquina
e 1 hora de trabalho na máquina
, enquanto cada unidade de produto B requer 1 hora de trabalho na máquina M 1 e 3 horas de trabalho na máquina M2. A empresa tem 100 horas disponíveis na máquina M1 e 90 horas disponíveis na máquina M2 por semana. O lucro por unidade de produto
é de
e o lucro por unidade de produto
é de
. Determine a quantidade de cada produto a ser produzida por semana para maximizar o lucro total.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma empresa que fabrica dois produtos, o A e o B. Cada produto usa duas máquinas diferentes, M1 e M2, com tempos de produção específicos. Queremos descobrir quantos de cada produto a empresa deve produzir por semana para ganhar o máximo de dinheiro. Para isso, vamos usar Matemática, mais especificamente Programação Linear, que ajuda a otimizar (maximizar ou minimizar) algo, no nosso caso, o lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
- Seja
o número de unidades do produto A a serem produzidas por semana. - Seja
o número de unidades do produto B a serem produzidas por semana.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as restrições baseadas no tempo disponível das máquinas:
-
Máquina M1:
- Cada A usa 2 horas.
- Cada B usa 1 hora.
- Total disponível: 100 horas.
Então, a restrição fica: -
Máquina M2:
- Cada A usa 1 hora.
- Cada B usa 3 horas.
- Total disponível: 90 horas.
Então, a restrição fica:
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de produtos:
Passo 4
Agora, vamos definir a função que queremos maximizar, que é o lucro total. Sabemos que:
- Cada A gera $10 de lucro.
- Cada B gera $15 de lucro.
Portanto, a função lucro
é:
Passo 5
Vamos visualizar essas restrições em um gráfico para encontrar a região viável onde todas as condições são satisfeitas.
-
Para
: - Se
, então . - Se
, então .
- Se
-
Para
: - Se
, então . - Se
, então .
- Se
Além disso, consideramos
e
.
Passo 6
As interseções dessas restrições (os pontos onde as linhas se cruzam) são chamadas de vértices da região viável. Vamos encontrar esses pontos:
-
Interseção das duas restrições:Podemos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, isolamos
: Substituímos na segunda equação:Substituindona equação : Então, a interseção é. -
Vértices da região viável:
-
Passo 7
Vamos calcular o lucro em cada um desses vértices usando a função
:
-
Em
: -
Em
: -
Em
: -
Em
:
Passo 8
Comparando os lucros:
-
: $0 -
: $450 -
: $660 -
: $500
O máximo lucro é $660, alcançado no ponto
.
Resposta
Para maximizar o lucro total, a empresa deve produzir 42 unidades do produto A e 16 unidades do produto B por semana.
Exercícios relacionados
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Use a fórmula (1) deduzida no item a) acima, para calcular o gradiente de u em coordenadas polares,
da função
.
Calcule as integrais iteradas.
calcule a expressão de
dos casos a seguir:
1a)
1a)