Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries numéricas e aplicar alguns testes que ajudam a determinar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observa que no denominador temos
. Para grandes valores de
, o termo
domina, então podemos aproximar:
Então, para simplificar, nossa série se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série simplificada
. Sabemos que
cresce muito rapidamente, exponencialmente, enquanto
cresce linearmente. Isso sugere que os termos da série não tendem a zero, ou seja:
Para uma série convergir, é necessário que o limite dos termos seja zero. Como não é o caso aqui, já podemos concluir algo importante.
Passo 4
Já que o limite dos termos da série é infinito, isso significa que os termos não estão tendendo a zero. Segundo o teste necessário para convergência de séries, se
, a série
é divergente.
Portanto, a série original
também diverge, pois seus termos não tendem a zero.
Resposta
A série
é divergente.
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Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(d)
(d)
Com base nelas, calcule:
(d)
(d)
Calcule as integrais iteradas
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
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