Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(i) sumn=1^infty n e^2 nn^2 e^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar a série sumn=1^infty n e^2nn^2 e^n-1 como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries numéricas e aplicar alguns testes que ajudam a determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observa que no denominador temos n^2 e^n - 1. Para grandes valores de n, o termo n^2 e^n domina, então podemos aproximar:
n e^2nn^2 e^n-1 approx n e^2nn^2 e^n = e^2nn e^n = e^nn
Então, para simplificar, nossa série se comporta aproximadamente como sumn=1^infty e^nn.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série simplificada sumn=1^infty e^nn. Sabemos que e^n cresce muito rapidamente, exponencialmente, enquanto n cresce linearmente. Isso sugere que os termos da série não tendem a zero, ou seja:
limn to infty e^nn = infty
Para uma série convergir, é necessário que o limite dos termos seja zero. Como não é o caso aqui, já podemos concluir algo importante.

Passo 4

Já que o limite dos termos da série é infinito, isso significa que os termos não estão tendendo a zero. Segundo o teste necessário para convergência de séries, se limn to infty an neq 0, a série sum an é divergente.
Portanto, a série original sumn=1^infty n e^2nn^2 e^n-1 também diverge, pois seus termos não tendem a zero.

Resposta

A série sumn=1^infty n e^2nn^2 e^n-1 é divergente.

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Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(d) sumn=1^infty (-1)^n(n+1)!2.4 6 cdots cdot(2 n)
ll senh x=e^x-e^-x2 & seno hiperbólico de x cosh x=e^x+e^-x2 & cosseno hiperbólico de x óó
Com base nelas, calcule:
(d) senh xcosh x
Calcule as integrais iteradas
integral3^4 integral1^2 1(x+y)^2 d y d x
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
© sumn=0^infty (3 x-2)^nn!