Calcule as integrais iteradas pela mudança para coordenadas polares , onde é um círculo de raio com centro na origem das coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre a região , que é um círculo de raio 1 com centro na origem. A função a ser integrada é . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando lidamos com figuras circulares. Então, vamos precisar entender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e calcular os limites de integração nesse novo sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . As relações entre coordenadas cartesianas e polares são:
Passo 3
Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área também muda. Ele se transforma em . Então, a integral original:
passa a ser:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Como é um círculo de raio 1, varia de 0 a 1. O ângulo completa uma volta completa ao redor do círculo, então vai de 0 a . Isso nos dá:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja . Então, , ou seja, . A integral fica:
Integrando , temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral externa, que é em relação a integral0^2pi 13 , dtheta = 13 cdot theta |0^2pi = 13 (2pi - 0) = 2pi3 :