Calcule as integrais iteradas pela mudança para coordenadas polares integral duplaR raiz1-x^2-y^2 d x d y, onde R é um círculo de raio r=1 com centro na origem das coordenadas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre a região , que é um círculo de raio 1 com centro na origem. A função a ser integrada é . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando lidamos com figuras circulares. Então, vamos precisar entender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares e calcular os limites de integração nesse novo sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por x = r cos theta y = r sin theta , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . As relações entre coordenadas cartesianas e polares são:

Passo 3

Além disso, quando mudamos para coordenadas polares, o elemento de área integral duplaR raiz1 - x^2 - y^2 , dx , dy também muda. Ele se transforma em integral0^2pi integral0^1 raiz1 - r^2 cdot r , dr , dtheta . Então, a integral original:
passa a ser:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como theta: 0 a 2pi r: 0 a 1 é um círculo de raio 1, varia de 0 a 1. O ângulo completa uma volta completa ao redor do círculo, então vai de 0 a . Isso nos dá:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 raiz1 - r^2 cdot r , dr :
-12 integral1^0 raizu , du = 12 integral0^1 raizu , du
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja 12 cdot 23 u^3/2 |0^1 = 13 (1 - 0) = 13 . Então, , ou seja, . A integral fica:
Integrando , temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral externa, que é em relação a integral0^2pi 13 , dtheta = 13 cdot theta |0^2pi = 13 (2pi - 0) = 2pi3 :

Resposta

A integral dupla vale .

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