Determine e classifique os pontos críticos das funções em pontos de máximo, de mínimo ou pontos de sela:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar e classificar seus pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.
Passo 2
O próximo passo é encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde
e
.
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
da primeira equação na segunda equação:
Isso nos dá:
Passo 5
Resolvendo a equação
, temos duas possibilidades:
-
→ Mas não está no domínio da função original, então desconsideramos. -
→ →
Passo 6
Agora, encontramos
usando
na primeira equação:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 7
Para classificar o ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Substituindo
e
:
Como
e
, o ponto crítico é um ponto de máximo local.
Resposta
O ponto crítico da função é
e é classificado como um ponto de máximo local.