Determine e classifique os pontos críticos das funções em pontos de máximo, de mínimo ou pontos de sela: f(x, y) = 1/x - 64/y + x*y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar e classificar seus pontos críticos. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.

Passo 2

O próximo passo é encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde e .
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 4

Vamos substituir a expressão de da primeira equação na segunda equação:
Isso nos dá:

Passo 5

Resolvendo a equação , temos duas possibilidades:
  1. → Mas não está no domínio da função original, então desconsideramos.

Passo 6

Agora, encontramos usando na primeira equação:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 7

Para classificar o ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :
Substituindo e :
Como e , o ponto crítico é um ponto de máximo local.

Resposta

O ponto crítico da função é e é classificado como um ponto de máximo local.

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