Calcule
, onde
é a região do primeiro quadrante interior ao círculo
e no exterior ao círculo
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que está no primeiro quadrante dentro do círculo
e fora do círculo
. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. A conversão das equações dos círculos fica simples:
- O círculo
vira . - O círculo
vira .
Passo 3
Agora, vamos expressar a integral dupla em coordenadas polares. A função
se torna
, e o elemento de área
se transforma em
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para integrar
, fazemos uma substituição:
- Seja
, então ou .
Substituindo:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Então, multiplicamos o resultado da integral interna pelo resultado da integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla é: