Calcule integral duplaR(e^x^2+y^2) d x d y, onde R é a região do primeiro quadrante interior ao círculo x^2+y^2=4 e no exterior ao círculo x^2+y^2=1

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que está no primeiro quadrante dentro do círculo e fora do círculo . Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que coordenadas polares são úteis aqui. Em coordenadas polares, qualquer ponto é representado por , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . A conversão das equações dos círculos fica simples:
  • O círculo vira .
  • O círculo vira .

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral dupla em coordenadas polares. A função integral duplaR e^x^2+y^2,dx,dy = integraltheta=0^pi2 integralr=1^2 e^r^2 cdot r,dr,dtheta se torna , e o elemento de área se transforma em . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral1^2 e^r^2 cdot r,dr :
integral e^u cdot du2 = 12 e^u + C = 12 e^r^2 + C
Para integrar 12 ( e^4 - e^1 ) , fazemos uma substituição:
  • Seja , então ou .
    Substituindo:
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a integral0^pi2 dtheta = pi2 :
12 ( e^4 - e ) cdot pi2 = pi4 ( e^4 - e )
Então, multiplicamos o resultado da integral interna pelo resultado da integral externa:

Resposta

O valor da integral dupla é:
integral duplaR e^x^2+y^2,dx,dy = pi4 ( e^4 - e )

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