Utilize multiplicadores de lagrange para determinar os valores máximos e mínimos de
sujeito a restrição
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
com a condição de que
. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a otimizar funções com restrições. Vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e como montar as equações de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o sistema de equações usando os multiplicadores de Lagrange. A ideia é igualar o gradiente da função que queremos otimizar ao gradiente da restrição, multiplicado por um multiplicador (vamos chamar de
).
A função que queremos otimizar é
, e a restrição é
.
Calculando os gradientes:
Segundo os multiplicadores de Lagrange, temos:
Isso nos dá três equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar relações entre
,
e
. Primeiro, da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando:
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Vamos considerar
(o caso negativo será tratado de forma similar).
Agora, da equação (3):
Usando
:
Substituindo
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora, vamos usar a restrição
para encontrar os valores específicos.
Substituindo
e
:
Calculando:
Então:
Se
:
Se
:
Resposta
Os valores críticos encontrados são:
-
, , com -
, , com
Portanto, o valor máximo de
é
e o valor mínimo é
.