Utilize multiplicadores de lagrange para determinar os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) = x * y * z sujeito a restrição x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função com a condição de que . Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a otimizar funções com restrições. Vamos precisar entender um pouco sobre gradientes e como montar as equações de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o sistema de equações usando os multiplicadores de Lagrange. A ideia é igualar o gradiente da função que queremos otimizar ao gradiente da restrição, multiplicado por um multiplicador (vamos chamar de ).
A função que queremos otimizar é , e a restrição é .
Calculando os gradientes:
Segundo os multiplicadores de Lagrange, temos:
Isso nos dá três equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar relações entre , e . Primeiro, da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para :
Simplificando:
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Vamos considerar (o caso negativo será tratado de forma similar).
Agora, da equação (3):
Usando :
Substituindo :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Então:

Passo 4

Agora, vamos usar a restrição para encontrar os valores específicos.
Substituindo e :
Calculando:
Então:
Se :
Se :

Resposta

Os valores críticos encontrados são:
  1. , , com
  2. , , com
Portanto, o valor máximo de é e o valor mínimo é .

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