Calcule as integrais triplas repetidas: integral-2^2 integral0^1 integral0^2(2 x^2 y+5 z^2) d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral tripla repetida da função sobre o intervalo , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas da matéria de Cálculo, onde integramos uma função de várias variáveis ao mesmo tempo, passando por cada uma das variáveis uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^2 (2x^2y + 5z^2) , dz . A integral interna é:
Vamos integrar termo por termo.

Passo 3

Integrando integral0^2 2x^2y , dz = 2x^2y cdot z |0^2 = 2x^2y (2) - 2x^2y (0) = 4x^2y em relação a :

Passo 4

Agora, integrando integral0^2 5z^2 , dz = 5 cdot z^33 |0^2 = 53 (8) - 53 (0) = 403 em relação a :

Passo 5

Somando os resultados das integrais:
4x^2y + 403
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a no intervalo de a .

Passo 6

Integração em relação a integral0^1 (4x^2y + 403) , dx = 4y integral0^1 x^2 , dx + 403 integral0^1 dx :
4y cdot x^33 |0^1 = 4y cdot 13 = 4y3
Calculando cada parte:
403 cdot x |0^1 = 403 cdot 1 = 403
4y3 + 403 = 4y + 403
Somando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral-2^2 4y + 403 , dy = 13 integral-2^2 (4y + 40) , dy no intervalo de 13 ( 4 cdot y^22 |-2^2 + 40 cdot y |-2^2 ) a 4 cdot y^22 |-2^2 = 2y^2 |-2^2 = 2(4) - 2(4) = 8 - 8 = 0 :
40 cdot y |-2^2 = 40(2) - 40(-2) = 80 + 80 = 160
Integrando termo por termo:
13 (0 + 160) = 1603
Calculando cada parte:
Somando:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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