Calcule as integrais iteradas a seguir: integral0^2 integral1^3 x^2 y d y d x

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral iterada . Estamos trabalhando com integrais duplas, que envolvem a integração de uma função de duas variáveis sobre uma região específica. Para resolver, vamos realizar a integração passo a passo, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral interna: integral1^3 x^2 y , dy = x^2 [ y^22 ]1^3 = x^2 ( 92 - 12 ) = x^2 times 4 = 4x^2 . Aqui, é tratado como uma constante, já que estamos integrando em relação a .
A integral de em relação a é . Portanto:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: integral0^2 4x^2 , dx = 4 [ x^33 ]0^2 = 4 ( 83 - 0 ) = 323 .
Vamos integrar em relação a . A integral de em relação a é , então:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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