Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para enunciar o Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer. Esse teorema faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender o que são integrais duplas e como o Teorema de Fubini facilita o cálculo delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla serve para calcular o volume sob a superfície da função sobre uma região no plano xy. Calcular essa integral diretamente pode ser complicado dependendo da função e da região.

Passo 3

É aí que o Teorema de Fubini entra em ação! Ele nos diz que, se a função é contínua em uma região retangular , então podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que podemos integrar uma variável de cada vez, o que muitas vezes simplifica bastante o cálculo. Matematicamente, o teorema é expresso por:

Resposta

O Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer afirma que, se a função é contínua em uma região retangular , então a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada nas duas ordens possíveis. Ou seja,
Isso facilita muito o cálculo, pois permite que integremos uma variável de cada vez, dependendo de qual ordem é mais conveniente para a função .

Exercícios relacionados

Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em regiões retangulares.
Calcule , onde é a a região limitada superiormente pela esfera e inferiormente peloo cone .
Calcule as integrais iteradas a seguir:
Calcule , se e