Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para enunciar o Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer. Esse teorema faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender o que são integrais duplas e como o Teorema de Fubini facilita o cálculo delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral dupla
serve para calcular o volume sob a superfície da função
sobre uma região
no plano xy. Calcular essa integral diretamente pode ser complicado dependendo da função e da região.
Passo 3
É aí que o Teorema de Fubini entra em ação! Ele nos diz que, se a função
é contínua em uma região retangular
, então podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que podemos integrar uma variável de cada vez, o que muitas vezes simplifica bastante o cálculo. Matematicamente, o teorema é expresso por:
Resposta
O Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer afirma que, se a função
é contínua em uma região retangular
, então a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada nas duas ordens possíveis. Ou seja,
Isso facilita muito o cálculo, pois permite que integremos uma variável de cada vez, dependendo de qual ordem é mais conveniente para a função
.
Exercícios relacionados
Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em regiões retangulares.
Calcule
, onde
é a a região limitada superiormente pela esfera
e inferiormente peloo cone
.
Calcule as integrais iteradas a seguir:
Calcule
, se
e