Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, se f(x, y)=x^2 y^3 e R=[0,1] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vamos integrar essa função em duas dimensões, primeiro em de 0 a 1 e depois em também de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas que nos permite calcular o volume sob a superfície definida por sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como montar a integral dupla. A região integral duplaR f(x, y) , dx , dy = integral0^1 integral0^1 x^2 y^3 , dx , dy é um quadrado no plano , onde varia de 0 a 1 e, para cada , também varia de 0 a 1. Então, nossa integral dupla fica:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 x^2 y^3 , dx = y^3 integral0^1 x^2 , dx . A função a integrar é integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 , e como integral0^1 x^2 y^3 , dx = y^3 cdot 13 = y^33 é considerada constante em relação a , podemos tratar como uma constante durante essa integração. Então:
Sabemos que a integral de em relação a é , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^1 y^33 , dy = 13 integral0^1 y^3 , dy :
integral0^1 y^3 , dy = [ y^44 ]0^1 = 1^44 - 0^44 = 14
Aplicando a mesma regra de integração:
13 integral0^1 y^3 , dy = 13 cdot 14 = 112
Então:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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