Calcule
, se
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
. Isso significa que vamos integrar essa função em duas dimensões, primeiro em
de 0 a 1 e depois em
também de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas que nos permite calcular o volume sob a superfície definida por
sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como montar a integral dupla. A região
é um quadrado no plano
, onde
varia de 0 a 1 e, para cada
,
também varia de 0 a 1. Então, nossa integral dupla fica:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A função a integrar é
, e como
é considerada constante em relação a
, podemos tratar
como uma constante durante essa integração. Então:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Aplicando a mesma regra de integração:
Então:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas a seguir:
Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer.
Calcule
, onde
é a região limitada pela curva
e pelo eixo
.
Esboce a região de integração e calcule as integrais:
, onde
é a região limitada pelas retas
e