Calcule , se e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vamos integrar essa função em duas dimensões, primeiro em de 0 a 1 e depois em também de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas que nos permite calcular o volume sob a superfície definida por sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como montar a integral dupla. A região é um quadrado no plano , onde varia de 0 a 1 e, para cada , também varia de 0 a 1. Então, nossa integral dupla fica:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . A função a integrar é , e como é considerada constante em relação a , podemos tratar como uma constante durante essa integração. Então:
Sabemos que a integral de em relação a é , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Aplicando a mesma regra de integração:
Então:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Calcule as integrais iteradas a seguir:
Enuncie o Teorema de Fubini para integrais duplas em uma região qualquer.
Calcule , onde é a região limitada pela curva e pelo eixo .
Esboce a região de integração e calcule as integrais: , onde é a região limitada pelas retas e