Calcule
, onde
é a região limitada pela curva
e pelo eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada pela curva
e pelo eixo
. Esse problema envolve cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares, que facilitam a resolução quando lidamos com funções envolvendo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
de integração. A curva
é a parte superior do círculo unitário centrado na origem, já que
. O eixo
é a linha
. Portanto, a região
é a metade superior do círculo de raio 1.
Passo 3
Para calcular a integral dupla sobre essa região, é mais fácil usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por
.
Passo 4
A função que vamos integrar,
, em coordenadas polares fica:
Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui,
varia de
a
para cobrir a metade superior do círculo, e
varia de
a
, que é o raio do círculo.
Passo 5
Vamos resolver primeiro a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. A integral se transforma em:
Passo 6
Agora, calculamos a integral externa em relação a
:
Passo 7
Multiplicando os resultados das integrais, temos:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, se
e
Calcule as integrais iteradas a seguir:
Esboce a região de integração e calcule as integrais:
, onde
é a região limitada pelas retas
e
Calcule
, sendo
o disco unitário centrado na origem.