Calcule integral duplaD e^x^2+y^2, onde D é a região limitada pela curva y=raiz1-x^2 e pelo eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral duplaD e^x^2+y^2, onde a região D é limitada pela curva y=raiz1-x^2 e pelo eixo x. Esse problema envolve cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares, que facilitam a resolução quando lidamos com funções envolvendo x^2 + y^2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D de integração. A curva y=raiz1-x^2 é a parte superior do círculo unitário centrado na origem, já que x^2 + y^2 = 1. O eixo x é a linha y=0. Portanto, a região D é a metade superior do círculo de raio 1.

Passo 3

Para calcular a integral dupla sobre essa região, é mais fácil usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é dado por r,dr,dtheta.

Passo 4

A função que vamos integrar, e^x^2+y^2, em coordenadas polares fica:
e^x^2+y^2 = e^r^2
Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
integral duplaD e^x^2+y^2,dA = integral0^pi integral0^1 e^r^2 cdot r,dr,dtheta
Aqui, theta varia de 0 a pi para cobrir a metade superior do círculo, e r varia de 0 a 1, que é o raio do círculo.

Passo 5

Vamos resolver primeiro a integral interna em relação a r:
integral0^1 e^r^2 cdot r,dr
Fazendo a substituição u = r^2, temos du = 2r,dr, ou seja, r,dr = du2. A integral se transforma em:
12 integral0^1 e^u,du = 12 [e^u]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Passo 6

Agora, calculamos a integral externa em relação a theta:
integral0^pi dtheta = pi

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais, temos:
integral duplaD e^x^2+y^2,dA = pi cdot 12 (e - 1) = pi (e - 1)2

Resposta

A integral dupla integral duplaD e^x^2+y^2,dA é igual a dfracpi (e - 1)2.
integral duplaD e^x^2+y^2,dA = pi (e - 1)2

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