Calcule , onde é a região limitada pela curva e pelo eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde a região é limitada pela curva e pelo eixo . Esse problema envolve cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares, que facilitam a resolução quando lidamos com funções envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A curva é a parte superior do círculo unitário centrado na origem, já que . O eixo é a linha . Portanto, a região é a metade superior do círculo de raio 1.

Passo 3

Para calcular a integral dupla sobre essa região, é mais fácil usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por .

Passo 4

A função que vamos integrar, , em coordenadas polares fica:
Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Aqui, varia de a para cobrir a metade superior do círculo, e varia de a , que é o raio do círculo.

Passo 5

Vamos resolver primeiro a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . A integral se transforma em:

Passo 6

Agora, calculamos a integral externa em relação a :

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais, temos:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , se e
Calcule as integrais iteradas a seguir:
Esboce a região de integração e calcule as integrais: , onde é a região limitada pelas retas e
Calcule , sendo o disco unitário centrado na origem.