Calcule as integrais iteradas a seguir: integralpi6^pi3 integral0^4 rho^2 e^rho^3 sen(phi) d rho d phi

Passo 1

Beleza, a gente tem para resolver a integral iterada integralpi6^pi3 integral0^4 rho^2 e^rho^3 sin(phi) , drho , dphi. Vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e entender um pouquinho sobre integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a rho:
integral0^4 rho^2 e^rho^3 , drho
Aqui, a gente pode usar uma substituição para simplificar. Vamos deixar:
u = rho^3 Rightarrow du = 3rho^2 , drho Rightarrow rho^2 , drho = du3
Substituindo na integral:
integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du = 13 e^u + C
Voltando para rho:
13 e^rho^3 + C
Agora, aplicando os limites de 0 a 4:
13 ( e^4^3 - e^0 ) = 13 ( e^64 - 1 )

Passo 3

Agora que resolvemos a integral interna, vamos para a integral externa em relação a phi:
integralpi6^pi3 13 ( e^64 - 1 ) sin(phi) , dphi
A gente pode tirar a constante 13 ( e^64 - 1 ) da integral:
13 ( e^64 - 1 ) integralpi6^pi3 sin(phi) , dphi
Sabemos que a integral de sin(phi) é - cos(phi). Então:
- cos(pi3) + cos(pi6)
Calculando os valores:
- ( 12 ) + ( raiz32 ) = raiz32 - 12 = raiz3 - 12

Resposta

O valor final da integral é:
(e^64 - 1)(raiz3 - 1)6

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