Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral1^2 integral1^x x^2y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla mudando a ordem de integração. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais duplas e como trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Atualmente, varia de 1 a 2, e para cada valor de , varia de 1 até . Se pensarmos em um gráfico, isso forma uma área triangular onde está abaixo de .

Passo 3

Para mudar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de e . Agora, queremos que seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região, varia de 1 a 2, e para cada , varia de até 2.

Passo 4

Com isso, a integral fica assim:
integral1^2 integraly^2 x^2y^2 , dx , dy
Isso significa que agora é fixo primeiro, e varia de até 2.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integraly^2 x^2y^2 , dx :
1y^2 integraly^2 x^2 , dx
Como 1y^2 [ x^33 ]y^2 = 1y^2 ( 83 - y^33 ) = 8 - y^33y^2 é tratado como constante nessa integração, podemos fatorar :
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral1^2 8 - y^33y^2 , dy = 13 integral1^2 8y^2 - y , dy
Isso separa a integral em duas partes mais simples.

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. Para 8 integral y^-2 , dy = 8 ( -y^-1 ) = -8y :
y^22
  1. Para - 8y g|1^2 = -82 + 81 = -4 + 8 = 4 :
y^22 g|1^2 = 42 - 12 = 2 - 0,5 = 1,5
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão principal:
13 ( 4 - 1,5 ) = 13 times 2,5 = 2,53 = 56

Resposta

A integral vale .

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