Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla mudando a ordem de integração. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais duplas e como trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Atualmente, varia de 1 a 2, e para cada valor de , varia de 1 até . Se pensarmos em um gráfico, isso forma uma área triangular onde está abaixo de .
Passo 3
Para mudar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de e . Agora, queremos que seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região, varia de 1 a 2, e para cada , varia de até 2.
Passo 4
Com isso, a integral fica assim:
Isso significa que agora é fixo primeiro, e varia de até 2.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Como é tratado como constante nessa integração, podemos fatorar :
A integral de em relação a é , então:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Isso separa a integral em duas partes mais simples.
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão principal: