Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla mudando a ordem de integração. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais duplas e como trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Atualmente, varia de 1 a 2, e para cada valor de , varia de 1 até . Se pensarmos em um gráfico, isso forma uma área triangular onde está abaixo de .

Passo 3

Para mudar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de e . Agora, queremos que seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região, varia de 1 a 2, e para cada , varia de até 2.

Passo 4

Com isso, a integral fica assim:
Isso significa que agora é fixo primeiro, e varia de até 2.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Como é tratado como constante nessa integração, podemos fatorar :
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Isso separa a integral em duas partes mais simples.

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. Para :
  1. Para :
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão principal:

Resposta

A integral vale .

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Calcule as integrais iteradas a seguir:
Calcule , sendo o sólido limitado pelo cilindro , pelo plano e pelo paraboloide . Esboce .
Esboce a região de integração e calcule as integrais:
Esboce a região de integração e calcule as integrais: