Calcule integral duplaW(z x^2+z y^2) d x d y d z, sendo W o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2 <= 1, pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=4-x^2-y^2. Esboce W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla . O que isso significa? Basicamente, estamos somando os valores da função em todo o sólido . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais triplas. Vamos precisar entender bem os limites de integração desse sólido que está limitado por um cilindro, um plano e um paraboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o sólido . Ele é limitado por:
  • O cilindro : Isso é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo .
  • O plano : Esse é o chão, ou seja, a base do nosso sólido está no plano .
  • O paraboloide : Esse é um paraboloide que abre para baixo e intercepta o eixo no ponto .
Visualizando isso, o sólido é como uma “tampa” parabólica que está cortada pelo cilindro, limitado de baixo pelo plano .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, o volume diferencial vira .
Agora, vamos definir os limites de integração:
  • : Como o cilindro tem , então varia de 0 a 1.
  • : Para cobrir todo o círculo, vai de 0 a .
  • : Para cada ponto , vai do plano até o paraboloide .

Passo 4

Vamos reescrever a função z x^2 + z y^2 = z (r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta) = z r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = z r^2 em coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^1 integral0^4 - r^2 z r^2 cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 integral0^4 - r^2 z r^3 , dz , dr , dtheta
Já que integral0^4 - r^2 z r^3 , dz = r^3 [ z^22 ]0^4 - r^2 = r^3 cdot (4 - r^2)^22 .
Agora, a integral fica:
r^32 (16 - 8r^2 + r^4) = 16 r^3 - 8 r^5 + r^72
Vamos integrar em relação a integral0^1 16 r^3 - 8 r^5 + r^72 , dr = 12 [ 16 cdot r^44 - 8 cdot r^66 + r^88 ]0^1 = 12 ( 4 - 43 + 18 ) primeiro:
4 = 328, 43 = 10.6668, 18 = 18
Simplificando:
328 - 10.6668 + 18 = 22.3338
Agora, integramos em relação a 22.33316 = 6748 :
integral0^2pi 6748 , dtheta = 6748 cdot 2pi = 6724 pi
Calculando os valores:
Somando:
Multiplicando por :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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