Calcule , sendo o sólido limitado pelo cilindro , pelo plano e pelo paraboloide . Esboce .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla . O que isso significa? Basicamente, estamos somando os valores da função em todo o sólido . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais triplas. Vamos precisar entender bem os limites de integração desse sólido que está limitado por um cilindro, um plano e um paraboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o sólido . Ele é limitado por:
  • O cilindro : Isso é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo .
  • O plano : Esse é o chão, ou seja, a base do nosso sólido está no plano .
  • O paraboloide : Esse é um paraboloide que abre para baixo e intercepta o eixo no ponto .
Visualizando isso, o sólido é como uma “tampa” parabólica que está cortada pelo cilindro, limitado de baixo pelo plano .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, o volume diferencial vira .
Agora, vamos definir os limites de integração:
  • : Como o cilindro tem , então varia de 0 a 1.
  • : Para cobrir todo o círculo, vai de 0 a .
  • : Para cada ponto , vai do plano até o paraboloide .

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas cilíndricas:
Já que .
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a primeiro:
Simplificando:
Agora, integramos em relação a :
Calculando os valores:
Somando:
Multiplicando por :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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