Calcule
, sendo
o sólido limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelo paraboloide
. Esboce
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
. O que isso significa? Basicamente, estamos somando os valores da função
em todo o sólido
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especialmente integrais triplas. Vamos precisar entender bem os limites de integração desse sólido
que está limitado por um cilindro, um plano e um paraboloide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o sólido
. Ele é limitado por:
- O cilindro
: Isso é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo . - O plano
: Esse é o chão, ou seja, a base do nosso sólido está no plano . - O paraboloide
: Esse é um paraboloide que abre para baixo e intercepta o eixo no ponto .
Visualizando isso, o sólido
é como uma “tampa” parabólica que está cortada pelo cilindro, limitado de baixo pelo plano
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, o volume diferencial
vira
.
Agora, vamos definir os limites de integração:
-
: Como o cilindro tem , então varia de 0 a 1. -
: Para cobrir todo o círculo, vai de 0 a . -
: Para cada ponto , vai do plano até o paraboloide .
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas cilíndricas:
Já que
.
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Simplificando:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando os valores:
Somando:
Multiplicando por
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
o disco unitário centrado na origem.
Esboce a região de integração e calcule as integrais:
, onde
é a região limitada pelas retas
e
Calcule as integrais iteradas a seguir:
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: