Esboce a região de integração e calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla de
sobre essa região
. Isso tá ligado a cálculo integral, especificamente integrais duplas. Pra resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e depois aplicar a fórmula da integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é definida por:
Isso significa que
varia de 0 até
, e
varia de 0 até
. Vamos desenhar isso no plano cartesiano.
Passo 3
No gráfico, o eixo
vai de 0 a
. Para cada valor de
,
começa em 0 e vai até
. Isso forma um triângulo onde a hipotenusa é a linha
.
Passo 4
Agora que temos a região
esboçada, vamos configurar a integral dupla. Como
varia de 0 a
e
de 0 a
, a integral fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Vamos resolver essa integral:
Resposta
O valor da integral é 1.