Esboce a região de integração e calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla de sobre essa região . Isso tá ligado a cálculo integral, especificamente integrais duplas. Pra resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e depois aplicar a fórmula da integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida por:
Isso significa que varia de 0 até , e varia de 0 até . Vamos desenhar isso no plano cartesiano.
Passo 3
No gráfico, o eixo vai de 0 a . Para cada valor de , começa em 0 e vai até . Isso forma um triângulo onde a hipotenusa é a linha .
Passo 4
Agora que temos a região esboçada, vamos configurar a integral dupla. Como varia de 0 a e de 0 a , a integral fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: