Esboce a região de integração e calcule as integrais: integral duplaD cos (y) d x d y, D=(x, y) in R^2, 0 <= y <= x, 0 <= x <= pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla de cos(y) sobre essa região D. Isso tá ligado a cálculo integral, especificamente integrais duplas. Pra resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e depois aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Ela é definida por:
  • 0 <= y <= x
  • 0 <= x <= pi2
Isso significa que y varia de 0 até x, e x varia de 0 até pi2. Vamos desenhar isso no plano cartesiano.

Passo 3

No gráfico, o eixo x vai de 0 a pi2. Para cada valor de x, y começa em 0 e vai até x. Isso forma um triângulo onde a hipotenusa é a linha y = x.

Passo 4

Agora que temos a região D esboçada, vamos configurar a integral dupla. Como y varia de 0 a x e x de 0 a pi2, a integral fica assim:
integral0^pi2 integral0^x cos(y) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^x cos(y) , dy = sin(y) |0^x = sin(x) - sin(0) = sin(x)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 sin(x) , dx

Passo 7

Vamos resolver essa integral:
integral0^pi2 sin(x) , dx = -cos(x) |0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1

Resposta

O valor da integral é 1.

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