Esboce a região de integração e calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla de sobre essa região . Isso tá ligado a cálculo integral, especificamente integrais duplas. Pra resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e depois aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida por:
Isso significa que varia de 0 até , e varia de 0 até . Vamos desenhar isso no plano cartesiano.

Passo 3

No gráfico, o eixo vai de 0 a . Para cada valor de , começa em 0 e vai até . Isso forma um triângulo onde a hipotenusa é a linha .

Passo 4

Agora que temos a região esboçada, vamos configurar a integral dupla. Como varia de 0 a e de 0 a , a integral fica assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 7

Vamos resolver essa integral:

Resposta

O valor da integral é 1.

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