Calcule
, sendo
o disco unitário centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de
sobre o disco unitário centrado na origem. Isso envolve cálculo multivariado, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, que são bem práticas para áreas circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas
para polares
. Nas coordenadas polares, temos que
e
. Além disso, a expressão
se torna simplesmente
.
Passo 3
A integral dupla vai de 0 a 1 para o raio
(pois é um disco unitário) e de 0 a
para o ângulo
. Também precisamos lembrar que, ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazemos uma substituição: seja
, então
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Multiplicando os resultados das integrais, temos:
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e calcule as integrais:
, onde
é a região limitada pelas retas
e
Calcule
, onde
é a região limitada pela curva
e pelo eixo
.
Calcule
, sendo
o sólido limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelo paraboloide
. Esboce
.
Calcule as integrais iteradas a seguir: