Calcule , sendo o disco unitário centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre o disco unitário centrado na origem. Isso envolve cálculo multivariado, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, que são bem práticas para áreas circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas para polares . Nas coordenadas polares, temos que e . Além disso, a expressão se torna simplesmente .

Passo 3

A integral dupla vai de 0 a 1 para o raio (pois é um disco unitário) e de 0 a para o ângulo . Também precisamos lembrar que, ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica:
Como , temos:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, temos:

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e calcule as integrais: , onde é a região limitada pelas retas e
Calcule , onde é a região limitada pela curva e pelo eixo .
Calcule , sendo o sólido limitado pelo cilindro , pelo plano e pelo paraboloide . Esboce .
Calcule as integrais iteradas a seguir: