Calcule integral duplaD sen(x^2+y^2) d x d y, sendo D o disco unitário centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de sin(x^2+y^2) sobre o disco unitário centrado na origem. Isso envolve cálculo multivariado, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, que são bem práticas para áreas circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta). Nas coordenadas polares, temos que x = r costheta e y = r sintheta. Além disso, a expressão x^2 + y^2 se torna simplesmente r^2.

Passo 3

A integral dupla vai de 0 a 1 para o raio r (pois é um disco unitário) e de 0 a 2pi para o ângulo theta. Também precisamos lembrar que, ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área dx,dy se transforma em r,dr,dtheta. Então, nossa integral fica:
integral duplaD sin(x^2+y^2),dx,dy = integral0^2pi integral0^1 sin(r^2) cdot r,dr,dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^1 sin(r^2) cdot r,dr
Fazemos uma substituição: seja u = r^2, então du = 2r,dr, ou seja, r,dr = du2. Assim, a integral fica:
12 integral0^1 sin(u),du = 12 [-cos(u)]0^1 = 12 (-cos(1) + cos(0))
Como cos(0) = 1, temos:
12 (1 - cos(1))

Passo 5

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

Multiplicando os resultados das integrais, temos:
integral duplaD sin(x^2+y^2),dx,dy = pi (1 - cos(1))

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