Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que calcular a integral:
Esse tipo de integral envolve uma fração racional, ou seja, uma razão entre dois polinômios. Para resolver, vamos utilizar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Vamos começar decompondo a fração racional em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão para encontrar os valores de , e :
Agrupando os termos semelhantes:
Como as duas expressões devem ser iguais para todo valor de , podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação: -(-A) + 4A = 10 Rightarrow A + 4A = 10 Rightarrow 5A = 10 Rightarrow A = 2 B = -2 e C = 8
Da terceira equação:
Substituindo e na segunda equação:
Então:
Passo 5
Agora que temos os valores de 10x(x-1)(x^2+4) = 2x-1 + -2x + 8x^2+4 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 6
Vamos separar as frações e integrar cada uma delas:
integral 2x-1 , dx + integral -2x + 8x^2+4 , dx
Para a primeira integral:
integral 2x-1 , dx = 2 ln|x - 1|
Para a segunda integral, vamos separar os termos:
integral -2xx^2+4 , dx + integral 8x^2+4 , dx
A primeira parte pode ser resolvida usando substituição, e a segunda é uma forma padrão da integral do arco-tangente.
Passo 7
Calculando as integrais:
-integral duu = -ln|x^2 + 4| :
Seja 8 cdot 12 arctan(x2) = 4 arctan(x2) , então . Portanto: