Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):
integral 10 x(x-1)(x^2+4) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que calcular a integral:
integral 10x(x-1)(x^2+4) , dx
Esse tipo de integral envolve uma fração racional, ou seja, uma razão entre dois polinômios. Para resolver, vamos utilizar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Vamos começar decompondo a fração racional em frações parciais. Queremos encontrar constantes 10x(x-1)(x^2+4) = Ax-1 + Bx + Cx^2+4 , 10x = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x - 1) e tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão para encontrar os valores de 10x = A x^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C , 10x = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (4A - C) e A + B = 0 -B + C = 10 4A - C = 0 :
Agrupando os termos semelhantes:
Como as duas expressões devem ser iguais para todo valor de , podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: -(-A) + 4A = 10 Rightarrow A + 4A = 10 Rightarrow 5A = 10 Rightarrow A = 2 B = -2 e C = 8
  2. Da terceira equação:
  3. Substituindo e na segunda equação:
Então:

Passo 5

Agora que temos os valores de 10x(x-1)(x^2+4) = 2x-1 + -2x + 8x^2+4 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 6

Vamos separar as frações e integrar cada uma delas:
integral 2x-1 , dx + integral -2x + 8x^2+4 , dx
Para a primeira integral:
integral 2x-1 , dx = 2 ln|x - 1|
Para a segunda integral, vamos separar os termos:
integral -2xx^2+4 , dx + integral 8x^2+4 , dx
A primeira parte pode ser resolvida usando substituição, e a segunda é uma forma padrão da integral do arco-tangente.

Passo 7

Calculando as integrais:
  1. -integral duu = -ln|x^2 + 4| :
    Seja 8 cdot 12 arctan(x2) = 4 arctan(x2) , então . Portanto:
  2. :
    Sabemos que . Aqui, :

Passo 8

Juntando tudo, a integral fica:
2 ln|x - 1| - ln(x^2 + 4) + 4 arctan(x2) + C

Resposta

A integral é igual a
2 ln|x - 1| - ln(x^2 + 4) + 4 arctan(x2) + C
onde é a constante de integração.

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