Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que calcular a integral:
Esse tipo de integral envolve uma fração racional, ou seja, uma razão entre dois polinômios. Para resolver, vamos utilizar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Vamos começar decompondo a fração racional em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão para encontrar os valores de , e :
Agrupando os termos semelhantes:
Como as duas expressões devem ser iguais para todo valor de , podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Substituindo e na segunda equação:
Então:

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:

Passo 6

Vamos separar as frações e integrar cada uma delas:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, vamos separar os termos:
A primeira parte pode ser resolvida usando substituição, e a segunda é uma forma padrão da integral do arco-tangente.

Passo 7

Calculando as integrais:
  1. :
    Seja , então . Portanto:
  2. :
    Sabemos que . Aqui, :

Passo 8

Juntando tudo, a integral fica:

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

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Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):
Calcule as derivadas abaixo:
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.