Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que calcular a integral:
Esse tipo de integral envolve uma fração racional, ou seja, uma razão entre dois polinômios. Para resolver, vamos utilizar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Vamos começar decompondo a fração racional em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão para encontrar os valores de , e :
Agrupando os termos semelhantes:
Como as duas expressões devem ser iguais para todo valor de , podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na segunda equação:
Então:
Passo 5
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Passo 6
Vamos separar as frações e integrar cada uma delas:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, vamos separar os termos:
A primeira parte pode ser resolvida usando substituição, e a segunda é uma forma padrão da integral do arco-tangente.