Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o domínio da função
e todas as suas assíntotas verticais e horizontais. Depois disso, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções racionais, limites e comportamento assintótico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
está definida quando o denominador
é diferente de zero. Então, vamos resolver a equação:
Sabemos que
, então:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais, que são linhas verticais
onde a função tende ao infinito. Elas ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Já vimos que o denominador
é zero quando
. Vamos verificar o comportamento da função próximo a
:
Para resolver essa indeterminação, podemos usar a Regra de L’Hôpital:
Como o limite é um número finito, isso indica que não há assíntota vertical em
. Portanto, a função não possui assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais, que são linhas horizontais
onde a função tende a se aproximar quando
vai para
ou
.
Vamos calcular os limites:
- Quando
:
À medida que
tende para
,
tende a 0. Então:
Não há assíntota horizontal quando
, já que a função tende a
.
- Quando
:
Aqui,
tende a
, então:
Portanto, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Com as informações obtidas, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Domínio:
- Assíntotas Verticais: Nenhuma
- Assíntota Horizontal:
No gráfico, a função se aproxima de
quando
. Quando
, a função tende a
. Além disso, a função não está definida em
, mas não há uma assíntota vertical ali.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais exceto
. A função não possui assíntotas verticais e tem uma assíntota horizontal em
. O gráfico da função se aproxima de
quando
tende a
e tende a
quando
tende a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):
Considere a função
.
Esboce o gráfico de (não se esquecendo de encontrar suas raizzes).
Esboce o gráfico de
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):
Calcule as derivadas abaixo: