Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o domínio da função e todas as suas assíntotas verticais e horizontais. Depois disso, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções racionais, limites e comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida.
A função está definida quando o denominador é diferente de zero. Então, vamos resolver a equação:
Sabemos que , então:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais, que são linhas verticais onde a função tende ao infinito. Elas ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Já vimos que o denominador é zero quando . Vamos verificar o comportamento da função próximo a :
Para resolver essa indeterminação, podemos usar a Regra de L’Hôpital:
Como o limite é um número finito, isso indica que não há assíntota vertical em . Portanto, a função não possui assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais, que são linhas horizontais onde a função tende a se aproximar quando vai para ou .
Vamos calcular os limites:
  1. Quando :
À medida que tende para , tende a 0. Então:
Não há assíntota horizontal quando , já que a função tende a .
  1. Quando :
Aqui, tende a , então:
Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Com as informações obtidas, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Domínio:
  • Assíntotas Verticais: Nenhuma
  • Assíntota Horizontal:
No gráfico, a função se aproxima de quando . Quando , a função tende a . Além disso, a função não está definida em , mas não há uma assíntota vertical ali.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto . A função não possui assíntotas verticais e tem uma assíntota horizontal em . O gráfico da função se aproxima de quando tende a e tende a quando tende a .

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