Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):
integral0^ln 2 e^3 x sen(e^x) d x
integral u d v=u v-integral v d u dd x tan (x)=sec ^2(x), dd x tan ^-1(x)=11+x^2 sec (x)=1cos (x), csc (x)=1sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas de substituição e integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como manipular exponenciais e funções trigonométricas dentro de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir dtdx = e^x implies dx = dte^x = dtt . Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de integral1^2 t^3 sin(t) cdot dtt = integral1^2 t^2 sin(t) , dt , facilitando os cálculos.
Calculando a derivada de em relação a :
Além disso, observamos que . Substituindo esses valores na integral original, mudamos os limites de integração de para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral u , dv = u v - integral v , du . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
u = t^2 implies du = 2t , dt
Escolhemos dv = sin(t) , dt implies v = -cos(t) e integral t^2 sin(t) , dt = -t^2 cos(t) + integral 2t cos(t) , dt de forma que e sejam mais simples de calcular.
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 4

Precisamos agora resolver u = 2t implies du = 2 , dt . Vamos aplicar novamente a integração por partes para esta nova integral.
Escolhemos:
dv = cos(t) , dt implies v = sin(t)
integral 2t cos(t) , dt = 2t sin(t) - integral 2 sin(t) , dt
Aplicando a fórmula:
= 2t sin(t) + 2 cos(t)
integral t^2 sin(t) , dt = -t^2 cos(t) + 2t sin(t) + 2 cos(t) + C
Agora, voltamos à expressão anterior:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a 2. Substituímos -2^2 cos(2) + 2 cdot 2 sin(2) + 2 cos(2) = -4 cos(2) + 4 sin(2) + 2 cos(2) = -2 cos(2) + 4 sin(2) e -1^2 cos(1) + 2 cdot 1 sin(1) + 2 cos(1) = -cos(1) + 2 sin(1) + 2 cos(1) = cos(1) + 2 sin(1) na expressão encontrada:
Para (-2 cos(2) + 4 sin(2)) - (cos(1) + 2 sin(1)) = -2 cos(2) + 4 sin(2) - cos(1) - 2 sin(1) :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

A integral -2 cos(2) + 4 sin(2) - cos(1) - 2 sin(1) é igual a:

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