Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas de substituição e integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como manipular exponenciais e funções trigonométricas dentro de uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir
. Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de
, facilitando os cálculos.
Calculando a derivada de
em relação a
:
Além disso, observamos que
. Substituindo esses valores na integral original, mudamos os limites de integração de
para
:
- Quando
, - Quando
,
Portanto, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos
e
de forma que
e
sejam mais simples de calcular.
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 4
Precisamos agora resolver
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para esta nova integral.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Agora, voltamos à expressão anterior:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a 2. Substituímos
e
na expressão encontrada:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral
é igual a:
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Considere a função
.
Esboce o gráfico de (não se esquecendo de encontrar suas raizzes).
Esboce o gráfico de
Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):