Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas de substituição e integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como manipular exponenciais e funções trigonométricas dentro de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir . Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de , facilitando os cálculos.
Calculando a derivada de em relação a :
Além disso, observamos que . Substituindo esses valores na integral original, mudamos os limites de integração de para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos e de forma que e sejam mais simples de calcular.
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 4

Precisamos agora resolver . Vamos aplicar novamente a integração por partes para esta nova integral.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Agora, voltamos à expressão anterior:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a 2. Substituímos e na expressão encontrada:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

A integral é igual a:

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Considere a função .
Esboce o gráfico de (não se esquecendo de encontrar suas raizzes).
Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
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