Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar o domínio dessa função, além das assíntotas verticais e horizontais. Depois disso, vamos esboçar o gráfico com base nessas informações.
Passo 2
Dominio da Função:
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. No nosso caso, a função
tem duas partes que precisamos analisar:
- Logaritmo Natural
: O logaritmo natural só está definido para . - Denominador
: O denominador não pode ser zero, então ou seja, .
Então, juntando essas duas condições:
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 3
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função se iguala a zero e o numerador não se anula no mesmo ponto.
No nosso caso, o denominador é
. Então:
Agora, verificamos o numerador em
:
Como tanto o numerador quanto o denominador são zero em
, precisamos verificar o limite para determinar se há uma assíntota vertical.
Calculando o limite quando
se aproxima de 1:
Como o limite é finito, não há uma assíntota vertical em
.
Conclusão: Não há assíntotas verticais para essa função.
Passo 4
Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais são encontradas observando o comportamento da função quando
tende a
ou
.
Vamos calcular os limites:
- Quando
:
Isso porque
cresce mais lentamente que
.
- Quando
:
Como esse limite não é um número finito, não há assíntota horizontal para
.
Conclusão: Há uma assíntota horizontal em
quando
.
Passo 5
Esboço do Gráfico:
Com as informações obtidas:
- Domínio:
- Assíntota Horizontal:
- Assíntota Vertical: Nenhuma
Vamos esboçar o gráfico considerando o comportamento da função nos intervalos
e
:
-
Para
: - Quando
se aproxima de 0, . - Quando
se aproxima de 1, se aproxima de 1.
- Quando
-
Para
: - Quando
se aproxima de 1, . - Quando
, .
- Quando
O gráfico terá duas partes distintas, uma no intervalo
crescendo até
e outra em
decrescendo em direção a 0.
Resposta
Domínio:
Assíntota Horizontal:
Assíntotas Verticais: Nenhuma
O gráfico da função apresenta duas partes: uma no intervalo
aumentando até
e outra em
decrescendo em direção a zero, com uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
c)
Dados:
c)
Dados:
Considere a função
.
Esboce o gráfico de (não se esquecendo de encontrar suas raizzes).
Esboce o gráfico de
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):