Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o domínio dessa função, além das assíntotas verticais e horizontais. Depois disso, vamos esboçar o gráfico com base nessas informações.

Passo 2

Dominio da Função:
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. No nosso caso, a função tem duas partes que precisamos analisar:
  1. Logaritmo Natural : O logaritmo natural só está definido para .
  2. Denominador : O denominador não pode ser zero, então ou seja, .
Então, juntando essas duas condições:
Portanto, o domínio de é .

Passo 3

Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função se iguala a zero e o numerador não se anula no mesmo ponto.
No nosso caso, o denominador é . Então:
Agora, verificamos o numerador em :
Como tanto o numerador quanto o denominador são zero em , precisamos verificar o limite para determinar se há uma assíntota vertical.
Calculando o limite quando se aproxima de 1:
Como o limite é finito, não há uma assíntota vertical em .
Conclusão: Não há assíntotas verticais para essa função.

Passo 4

Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais são encontradas observando o comportamento da função quando tende a ou .
Vamos calcular os limites:
  1. Quando :
Isso porque cresce mais lentamente que .
  1. Quando :
Como esse limite não é um número finito, não há assíntota horizontal para .
Conclusão: Há uma assíntota horizontal em quando .

Passo 5

Esboço do Gráfico:
Com as informações obtidas:
  • Domínio:
  • Assíntota Horizontal:
  • Assíntota Vertical: Nenhuma
Vamos esboçar o gráfico considerando o comportamento da função nos intervalos e :
  1. Para :
    • Quando se aproxima de 0, .
    • Quando se aproxima de 1, se aproxima de 1.
  2. Para :
    • Quando se aproxima de 1, .
    • Quando , .
O gráfico terá duas partes distintas, uma no intervalo crescendo até e outra em decrescendo em direção a 0.

Resposta

Domínio:
Assíntota Horizontal:
Assíntotas Verticais: Nenhuma
O gráfico da função apresenta duas partes: uma no intervalo aumentando até e outra em decrescendo em direção a zero, com uma assíntota horizontal em .

Exercícios relacionados

Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
c)
Dados:
Considere a função .
Esboce o gráfico de (não se esquecendo de encontrar suas raizzes).
Calcule as integrais, justificando o raciocínio (40 pontos):