Considere a função .
Esboce o gráfico de (não se esquecendo de encontrar suas raizzes).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender como a função se comporta, encontrar as raízes (ou seja, onde ), e identificar as assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções racionais, encontrar raízes de equações e analisar assíntotas verticais e horizontais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, resolver :
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por :
Simplificando:
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Então, as raízes são:

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas Verticais:
São os valores de que tornam o denominador zero. Observando a função:
Os denominadores são e . Então, a função não está definida em . Portanto, temos uma assíntota vertical em .
Assíntota Horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito.
Quando tende a ou , as frações e tendem a zero. Logo,
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pela assíntota vertical .
Para :
Escolhemos um valor, por exemplo, :
Para :
Escolhemos :
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta em torno de e nos ajuda a desenhar o gráfico de forma mais precisa.

Passo 5

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
  • As raízes estão em e .
  • Há uma assíntota vertical em .
  • Há uma assíntota horizontal em .
  • Para , a função tende a conforme aumenta.
  • Para , a função tende a próximo a e a conforme tende a .

Resposta

O gráfico da função possui duas raízes em e , uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . O esboço reflete o comportamento da função conforme descrito nos passos anteriores.

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