Considere a função
.
Esboce o gráfico de
(não se esquecendo de encontrar suas raizzes).
Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender como a função se comporta, encontrar as raízes (ou seja, onde
), e identificar as assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções racionais, encontrar raízes de equações e analisar assíntotas verticais e horizontais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, resolver
:
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por
:
Simplificando:
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Então, as raízes são:
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas Verticais:
São os valores de
que tornam o denominador zero. Observando a função:
Os denominadores são
e
. Então, a função não está definida em
. Portanto, temos uma assíntota vertical em
.
Assíntota Horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Quando
tende a
ou
, as frações
e
tendem a zero. Logo,
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pela assíntota vertical
.
Para
:
Escolhemos um valor, por exemplo,
:
Para
:
Escolhemos
:
Isso nos dá uma ideia de como a função se comporta em torno de
e nos ajuda a desenhar o gráfico de forma mais precisa.
Passo 5
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
- As raízes estão em
e . - Há uma assíntota vertical em
. - Há uma assíntota horizontal em
. - Para
, a função tende a conforme aumenta. - Para
, a função tende a próximo a e a conforme tende a .
Resposta
O gráfico da função
possui duas raízes em
e
, uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. O esboço reflete o comportamento da função conforme descrito nos passos anteriores.
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